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appartient aussi au groupe; et, réciproquement, si r transformations infinitési- 

 males linéaires et homogènes X,/", \nf, . . ., X^/, parmi lesquelles se trouve la 

 transformation infinitésimale 



àj df ôf 



sont telles que les r'- transformations infinitésimales 



X,(X,a^.)|^+---+X,(X,a:^„)^ {i,k = i,i,...,n), 



dépendent linéairement de\ ^f, X,^/, . .., X^y, on peut choisir les r paramétres 

 du groupe de façon que dans les équations finies de ce groupe ils entrent d'une 

 manière linéaire et homogène. 



» La deuxième partie de cette proposition est due à M. Study. 



» De cette proposition l'on peut déduire le théorème suivant : 



» Si dans les équations finies d'un groupe linéaire et homogène non inté- 

 grable G, les paramètres entrent d'une manière linéaire et homogène, le 

 groupe G est for/né d'un sous-groupe invariant intégrable V et d'un certain 

 nombre de sous-groupes simples g ^, g.,, . . ., g^ échangeables entre eux, respec- 

 tivement isomorphes aux groupes linéaires et homogènes spéciaux à n,, n.,, ..., 

 Hf^ variables . 



» Si l'on considère en particulier ceux de ces groupes qui sont simple- 

 ment transitifs et qui sont si intimement liés aux systèmes de nombres com- 

 plexes à multiplication distributive et associative, on peut, en conservant 

 les notations du théorème précédent, trouver n'^ des variables qui sont échan- 

 gées entre elles à la façon des paramètres du groupe linéaire et homogène 

 général à n^ variables, de même ni autres variables échangées entre elles d'une 

 façon analogue et ainsi de suite. Le nombre des paramètres est, par suite, 

 a u moins égal à n'\ ^ n', + . . .-\- ril- 



» En transportant cela dans la théorie des nombres complexes, on peut 

 énoncer le théorème suivant : 



» Si un système de nombres complexes est associé à un groupe simplement 

 transitif non intégrable tel que le plus grand groupe semi-simple qui lui est 

 isomorphe soit composé de sous-groupes simples à m^ — i , n* — i , ... paramè- 

 tres, on peut trouver un premier système de m- unités e^f^Çi, X' = 1,2,..., /w) 

 déterminant pour elles-mêmes un système de nombres complexes avec la loi de 

 multiplication 



(i) <'ape^ô= Sj^vCao, (îp^ = 1 si ^ = y, sp^ = » si ^ 7^ y) ; 



puis un deuxième système de n- unités indépendantes des premières Jouissani 



de propriétés analogues et ainsi de suite. 



