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» C'est la généralisation d'un théorème énoncé par M. Scheffers, mais 

 qui n'est vrai que lorsque l'un des nombres /n, n, . . . est égal à 2 et qui, 

 par suite, n'a pu être vérifié par lui que pour des systèmes de nombres com- 

 plexes à moins de neuf unités. 



1) 2. Je passe maintenant aux groupes linéaires et homogènes dans les 

 équations finies desquels les paramètres entrent algébriquement. M. Mau- 

 rer a déterminé à quelles conditions devaient satisfaire les transformations 

 infinitésimales de ces groupes pour qu'il en fût ainsi; il a montré que si les 

 paramètres entraient algébriquement, on pouvait toujours faire en sorte 

 qu'ils entrassent rationnellement. Les résultats connus jusqu'à présent sur 

 la structure des groupes fournissent une classe très étendue de groupes li- 

 néaires et homogènes pour lesquels ce fait se présente. En effet, on peut 

 énoncer la proposition suivante : 



» Le groupe dérivé d'un groupe linéaire et homogène quelconque est tel 

 que dans ses équations finies, on peut toujours faire entrer les paramétres ra- 

 tionnellement. 



» Relativement aux groupes adjoints : 



» Si un groupe est de rang zéro ou si son plus grand sous-groupe invariant 

 intégrahle est de rang zéro {en particulier s'il est le groupe dérivé d'un autre 

 groupe ) , on peut faire en sorte que dans les équations finies de son 

 groupe adjoint les paramétres entrent rationnellement. 



)) Les invariants d'un groupe linéaire et homogène, dans les équations 

 finies duquel les paramètres entrent rationnellement, dépendent d'un 

 nombre fini d'entre eux qu'on peut toujours supposer rationnels; si le 

 groupe est semi-simple, il résulte des théorèmes sur la structure des groupes 

 semi-simples qu'on peut toujours supposer que ces derniers invariants sont 

 des polynômes entiers, homogènes et irréductibles. Ce cas se présente en parti- 

 culier pour le groupe des substitutions linéaires de déterminant égal à i. 



« 3. M. Lie a montré comment, étant donnée une structure de groupe, 

 on pouvait se servir du groupe adjoint correspondant pour déterminer 

 tous les groupes transitifs ayant la structure considérée, en supposant tou- 

 tefois que le groupe n'admette pas de transformation distinguée. 



» Les résultats énoncés précédemment donnent alors le théorème sui- 

 vant : 



» Si un groupe transitif n'admet pas de transformation distinguée et que 

 son plus grand sous-groupe invariant intégrahle soit de rang zéro, on peut 

 toujours, aumoyen d' un changement de variables et de paramètres convenable, 

 faire en sorte que les coefficients des transformations infinitésimales de ce groupe 



