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soient des Jonctions rationnelles des variables et que les équations fîmes dé- 

 pendent algébriquement des variables et des paramètres. On peut même, en 

 prenant pour nouvelles variables certaines fonctions rationnelles des variables 

 ainsi déterminées, faire en sorte que les équations finies dépendent rationnelle- 

 ment des paramètres. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions entières. Note de M. Desaixt, 



présentée par M. Poincaré. 



« T^es fonctions entières de genre o, i ou 2, dont le multiplicateur expo- 

 nentiel du produit infini de facteurs primaires de M. Weierstrass est de la 

 forme Ae°"'^'^'"^^, où A est une constante, x et p réels et a positif, jouissent 

 de cette propriété que si leurs zéros sont réels, les zéros de leur dérivée 

 sont aussi réels. 



» Cette proposition s'établit aisément en s'appuvant sur la considération 

 de l'équilibj-e d'un point mobile attiré par plusieurs centres fixes en raison 

 inverse de la distance. 



» J'appliquerai cette proposition à l'inverse de la fonction eulérienne 

 en faisant avant cette remarque que, si oc = o, le théorème précédent s'ap- 

 plique; il suffit de remplacer iy.{x-\ — — ) par.«, c'est-à-dire une attraction 



venant du point réel ^> par une force parallèle à l'axe des quantités 



réelles. 



» On sait que, r (a:) étant la fonction eulérienne de seconde espèce, on 

 a, C étant la constante d'Euler, 



r(^ 



.-n[(x + j).-^]. 



où n prend toutes les valeurs entières i , 2, .... 



)) On peut donc énoncer la proposition suivante : 



» La fonction inverse arithmétique de la fonction eulérienne de seconde 

 espèce admet une dérivée dont les zéros sont tous réels ( ' ). 



(') Cours de 1r Faculté des Sciences de Paris, par M. Hermite; année 1891, 

 p. 1-4.!, \\-. 



