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 » On en déduit les propositions suivantes 

 )) Les équations en x. 



im„=„ io£r« - - - -—— • — ...- — -— - =<), 



/•" ex.y — gy 



^d {n -}-i)[x + n) 



OÙ C est la constante d' Euler, ont toutes leurs racines réel/es. 



» Je reviens maintenant sur les fonctions entières générales pour 

 donner le théorème suivant : 



M Les fonctions entières de genre pair io, dont le multiplicateur exponentiel 

 du produit infini de facteurs primaires de M. Weierstrass, est de la forme 

 ^gaj-"+-+p.i>"+ +T, où A est une constante, a., fi réels et y. positif, jouissent de cette 

 propriété que si leurs zéros sont réels, les zéros de leur dérivée sont tous aussi 

 réels. 



» Il suffit de se rappeler que les fonctions entièresy"(.r), dont on s'oc- 

 cupe dans le théorème, satisfont à l'identité suivante : 



» Je me propose maintenant de donner ([uelques théorèmes sur des 

 fonctions qui comprennent, comme cas particuliers, les fonctions modu- 

 laires K(^) et les fonctions multiformes que l'on rencontre dans l'étude 

 de la série hypergéométrique de Gauss. 



» Auparavant, j'ouvre une parenthèse pour donner le théorème sui- 

 vant : 



» Si H(/, u,^, . . ., w) est une fonction réelle gardant un signe constant 

 pour toutes les valeurs respectives des paramètres réels de t, à /., u, à u.,, . . ., 

 w, à w.,, G(t,u, . . ., w) étant une fonction réelle ou complexe de ces para- 

 mètres, la fonction F(c- )5eee / ■ ■■ dt'^ . . . \ •■■ \ ' "' • • •■ "') ^ ^^^ .^_ 



^,, J.„, Z — G(<, u, <•) 



ros à l'intérieur de tout contour convexe entourant iensemhle de points 



Z = G(/, u, . . ., «') qui est un espace de discontinuité pour la fonction. 



» J'ouvrirai encore une parenthèse pour donner le théorème suivant, 

 généralisation de la proposition de Laguerre sur les fonctions modulaires 



K(z)e\.K'(z.y^K(i-z). 



