( 2-5 ) 

 de la grande fécondité des méthodes dont vous conservez le principe, je 

 pense avoir réussi, dans une certaine mesure, à donner satisfaction à un 

 désir que vous m'avez plusieurs fois exprimé relativement aux beaux 

 théorèmes de M. Rronecker sur les formes quadratiques. Ces théoreines, 

 qui semblent par leur nature devoir naturellement entrer dans le cercle de 

 vos études sur les fonctions numériques, restaient cependant comme isolés 

 et appartenant à un ordre d'idées très-distinct où la théorie de la multipli- 

 cation complexe dans les fonctions elliptiques paraissait seule pouvoir dou- 

 iier accès. Les démonstrations du P. Joubert découlent en effet de cette 

 théorie où la notion de classe de formes quadratiques s'offre de la manière 

 la plus nécessaire et joue le rôle le plus important. J^attache à ces démons- 

 trations un grand prix, car elles éclairent singulièrement la théorie arith- 

 métique des formes en montrant que les théorèmes donnés il y a si long- 

 temps par M. Gauss sont autant de propriétés des fonctions eliipticpies, et 

 en ajoutant un des plus remarquables exemples de ces liens cachés qui 

 réunissent l'analyse transcendante à l'arithmétique. En parvenant par une 

 autre voie à ces théorèmes de M. Kronecker, c'est à l'ordre d'idées qui vous 

 appartient que je pense les avoir rattachés de la manière la plus directe, et, 

 si je ne me trompe, dans le sens même de vos prévisions, car la notion 

 arithmétique de classe se trouve-remplacée par l'idée beaucoup plus simple 

 et plus élémentaire des formes réduites. 



M Je suis parti des identités que fournit le développement tles quotients 

 de fonctions G, en séries sim])les de sinus ou de cosinus, et dont Jacobi a 

 montré le premier la grande importance en découvrant de cette manière 

 l'expression du nombre des décompositions d'un entier en quatre carnés par 

 la somme des diviseurs de cet entier. Une extension fort simple de ce pro- 

 cédé consiste à considérer, au lieu seulement de sinamz, cos amr, Aamz, 

 les produits de fonctions doublement périodiques par des puissances de 

 quantités 0, c'est-à-dire des expressions ayant la période 4K, et se mul- 

 tipliant par un facteur exponentiel, lorsqu'on ajoute a/R' à la variable. 



» En taisant z = ^ et posant avec Jacobi 



(z) = I — iq COS2JC +2^* cos4'''' — 2(y^ cos 6.*' -(-..., 

 H(z) ^=: Oi\çi sin.ï- — 2\ ^"sin 3x + sy^^^sin 5jc — . . . , 

 0, (z) = I -)- 2(^ COS2 JT + a*/* cos 4 a- + 2(y' cosGoT -f- . . ., 

 H, [z) = 2V7COSX + av<y'cos3x -+- a y 7^' cos 5x -1- . . . , 



