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 Le nombre n est se — i mod. 8; k„ est la somme des quantités 





— -\ =: ( — i) ^ pour tons les diviseurs de ii inférieurs à sa ra- 



cine carrée, c'est-à-dire encore une partie de fonction. Au contraire, dans 

 ces cas et d'autres analogues, les développements des expi-essions (i) ne 

 conduisent jamais qu'à des fonctions numériques complètes. 

 » Après ces deux groupes de fonctions, la suivante : 



pourra servir d'exemple du cas le plus simple qui s'offre ensuite dans la 

 série des expressions obtenues en multipliant par la première puissance 

 d'une des quantités 0, une fonction doublement périodique. Elle donne, 

 en désignant par A, une constante, ce développement 



K_ /2TK H'(z)ei(z) 



= ^ 0, (z) — cos 2 .rcj v^-' 



- cos 40-7^(^7^ 4- 3 s^) 



- cos 6jcq' ( vV + 3 s p + 5 t ^) 



- cos 2 nxcf ( V V + 3 Ur" + . ■ • + (2 « - I ) V ç-'^'"-"') . 



11 On doit donc encore regarder A. comme une fonction complète, dont 

 la valeur sous une forme analytique toute semblable à celle de A, B, C, 

 sera 



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y iz Jo &'{z) 



» Mais tandis que A, B, C se rapportent sous le point de vue arithmé- 

 tique aux fonctions des diviseurs des nombres, A., comme vous allez voir, 

 conduit aux fonctions qui expriment le nombre des classes quadratiques 

 pour toutes les formes de déterminant — .., 7t étantes 3 mod. /j. 



» Pour le démontrer, je regarde l'expression — ^^u'\ comme le produit 



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