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sont distinctes et appartiennent à des classes différentes, puisqu'il n'existe 

 point de formes ambiguës ayant un coefficient moyen impair. Par consé- 

 quent, à la totalité des deux séries de valeurs positives et négatives de a 

 correspond exactement la totalité des formes réduites, proprement primi- 

 tives du déterminant — N. Ainsi la fonction F(N) qui s'est offerte d'abord 

 comme la somme des nombres de solutions des équations I, II et III, reçoit 

 cette nouvelle et importante signification arithmétique de représenter le 

 nombre des classes proprement primitives de déterminant — N. L'équation 



envisagée sous ce nouveau point de vue, montre l'importance de la fonc- 

 tion complète de l'expression — _ j '' et va doinier très-aisément l'un des 



théorèmes de M. Kronecker. 



» Je fais pour cela x = o dans l'équation 



T^.y-ir J(z) ^ =A.Q.(z)-cos2.r7sry 



Le premier membre s' annulant, on voit immédiatement que le second 

 membre, ordonné suivant les puissances de q, donne une série dont le terme 

 général est 



7^ ; 



L'exposant N estss3 mod li,'^d' représente la somme ties diviseuis 

 de N supérieurs. à sa racine carrée, et yd la somme des diviseurs qui lui 



sont inférieurs. Le coefficient de q^ est donc précisément la fonction dési- 

 gnée par T(N) et définie dans le Mémoire de M. Kronecker au moyen de 

 la relation 



