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sont impairs et *F,(«) la somme de tous les diviseurs moindres que \^n et 

 qui ne sont pas de même parité que leurs conjugués. Ainsi pour n impair, 

 *, (n) coïncidera avec la somme de tous les diviseurs que M. Rronecker 

 nomme $(n), et 'F,(«) sera nul. Cela étant, l'équation 



iloiinera ce nouveau théorème où n est quelconque : 



F[l^n - i)+ F(4/2 -3=)+ ... + F[^n-{ia + i)»] = $,(«) - *',(«). 



■> Je considère en second lieu le produit des développements de H (2) 

 et de la dérivée de cosamz, à savoir : 



H(z) ^ 2 Vçsinj: — 2 v^*sin 3 j: 4- 9. v^^'sin Sx — . . . , 

 ^ ,, , ' = -'^^ sui X H 5^^, sui 3x -\ }^-^ sin 5 X + .... 



77= &{z) J + q 1-1-9' l-hq" 



En opérant de même on trouvera 



„ = » (an-»-l'!(2n-t-.^) 



et si l'on pose 



(2n+i)(2n+3) N-3 



N représentera tous les nombres entiers ^ 3 niod 4 et 'F2(N) la somme des 

 diviseurs de N inférieurs à la racine carrée. L'équation 



V 





donnera par suite ce troisième tliéorème 



F(N)-aF(N-2^)-K2F(N -4')- ••• + 2(-.)*F^>' - 4^-') 



