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On obtient aiiisi immédiatement 



( 5 m -t- 1 ) (2 m -I- 3 ^ 



y=e(o)(,H-4V-2^)-4H,(o)2(-.-'-=E=- 



Je laisse donc de côté ce résultat et d'autres du même genre pour vous 

 indiquer, en terminant, de quelle manière je conçois la liaison de la théorie 

 des fonctions elliptiques, dans ses applications à l'arithmétique, avec vos 

 recherches générales sur les fonctions numériques. 



» Je considère pour cela les développements suivant les |)uissances de q. 

 de sinamz, cosamz, Aamz, et je remarque qu'en posant 



— sniams = ^ i\„q - 



n — I I 



— cosamz =;>( — i) S„^ > 



27: 



on a 



— A am z = I + 2 T„ ^" , 

 R„ =^ V sinr/.r. 



Jes sommes s'étendant à tous les diviseurs d du nombre unpair ii\ et à 

 l'égard de la fonction T, si l'on pose n = a'N, N étant impair, et qu'on dé- 

 signe par rf les diviseurs de N, on aura semblablement 



îi-d 



On retrouve donc ainsi les fonctions numériques qui se sont si souvent 

 présentées dans vos recherches. 

 » Soit encore 



/ 



2T 0(c) - Zé"^"'! ' 

 /FkH,( z)q,(z) _ ^ i" 



V 



27r 0(z) 



3 ( , 



