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et désignons p;n-f/ct d deux diviseurs conjugués, doul le produit soit n, on 

 aura 



i -r^ . d -h il' 



les sommes s'étendanf à tous les diviseurs du nond^re n qui est ^ i niod 4» 

 et en dernier lieu 



«étantes— I niod. 4- On reconnaît ainsi, au |)oint de vue arithmétique, 

 l'analogie des nouvelles fonctions avec les anciennes, et en même temps 



leur différence qui consiste en ce qu'un diviseur cl est remplacé par — ^ — • 



On ne voil point encore d'ailleurs s'offrir de parties de fonctions, mais elles 

 se présentent en faisant 



z(-^') = !;?«/'• 



Dans ce cas n est ^ — i mod. 4i et en supposant d < d' on trouve 



(i-t- 1 

 Ç„ = 2 2^ (— i) - cos — ^ — .r, 



la somme ne comprenant que les diviseurs r/, qui sont inférieurs à \jn. 



» J'espère, mon cher confrère , que vous n'oublierez pas que vous 

 m'avez aussi promis une Lettre arithmétique qui soulève un peu le voile 

 dont vous vous êtes jusqu'à présent recouvert. Si vous le jugez à propos, 

 j'aimerais bien que celle-ci fût publiée dans votre Journal, où je la ferai 

 suivre de |)lusieurs articles sur divers sujets qui s'y rattachent et que mes 

 examens m'obligent d'ajourner. » 



Réponse de M, Lioiiville. 



« Je vous remercie de votre bonne Lettre, et je vous répondrai longue- 

 ment dans le Journal de Malhénuilufues, où l'on ne manquera pas de repro- 

 duire vos intéressants résultats. Nous tendons à un but semblable, mais par 



