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des voies bien différentes, qui pourtant se rattachent toujours aux travaux 

 de Jacobi. En effet mes formules générales, ainsi que je l'ai indiqué au 

 commencement de mon septième article {Journal de Matltématiques, Cahier 

 d'avril i858), donnent naissance à des équations entre des séries qui con- 

 tiennent comme cas particuliers celles de la théorie des fonctions ellip- 

 tiques. Cette théorie (que vous employez directement) se trouve donc ici 

 remplacée pour moi par des formules appartenant à l'algèbre la plus élé- 

 mentaire, obtenues au moyen de certaines identités des plus simples, et 

 renfermant des fonctions arbitraires sans aucune condition de continuité. 

 Les variables que je considère sont en effet des nombres entiers, et les 

 fonctions n'ont besoin d'être définies que par rapport à ces nombres entiers 

 pris comme valeurs des variables : le reste esta volonté. Je ne puis dès lors 

 avoir aucune peine à introduire dans mes recherches les fonctions numé- 

 riques que vous nommez incomplètes. Permettez-moi de vous rappeler 

 que je vous ai donné à ce sujet, il y a longtemps déjà, un exemple remar- 

 quable. Prenez dans mon premier article [Journal de Malhémaflqiies, Cahier 

 d'avril i858) la formule 



i[f{d'-d")-Ad'^d')]=id[j{o)-j{2d)l 



qui se rapporte au mode de partition du double d'xui entier donné {ni^^c/â'j 

 marqué par la formule 



2 m = d' r}' -+- d" &\ 



où d., â\d'\ ù" sont comme d et â des entiers impairs positifs. \a fonction 

 fipc) doit être paire. Cette condition sera remplie si nous supposons/ (a') 

 nulle quandxatteint ou dépasse une valeur numérique données, c'est-à-dire 

 quand x* ^ <i^, elj\x) égale à i quand x- < a-. Or vous en conclurez de 

 suite pour la fonction numérique exprimant la somme des diviseurs de /« 



qui ne sont pas inférieurs à - cette propriété curieuse d'exprimer aussi le 



nombre des solutions de l'équation 2m = d' & -\- d"â" pour lesquelles on 

 a numériquement 



d'-d'<a, d'-\-d">a. 



» En prenant a = 2 y ;«, la fonction numérique dont je viens de parler de- 

 viendra une des fonctions de M. Rronecker. Vous obtiendrez d'autres ré- 

 sultats dignes d'attention en prenant/ (x)= o, sauf dans les cas où l'en- 

 tier X est ^ ± rt(mod. p), a et p étant des nombres donnés : on fera alors 



