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 intérieur O sons des angles égaux, on pourra construire un cercle m, tan- 

 gent en a k lu corde AB, et qui ait le point O pour point central par rap- 

 port au cercle proposé. 



» 3. Un polygone ABC. . . KL demeurant inscrit dans un cercle TJ, et se 

 déformant d'une manière continue quelconque : le point où chacun de ses 

 m côtés touche son enveloppe particulière détermine sur ce côté deux seg- 

 ments, et le produit de ?n de ces segments, non adjacents, est égal au pro- 

 duit des m autres, 



, V An Bb K^ Ll _ 



11 La démonstration résulte de la considération de ini triangles rectili- 

 gnes, semblables deux à deux (*). 



11 4- Si m — I cordes consécutives AB, . . . , RL d'un cercle U roulent sur 

 autant de cercles donnés m, , U2, . . ., Um-i ayant tous le même axe radical 

 (ou le même point central O) avec le cercle U, la corde résuUanle AL rou- 

 lera elle-même siu' un cercle analogue (Poncelet). 



11 L'application du théorème 2 aux m — i cordes AB, ..., RL, fournit 

 cette égalité 



, X Ac B6 Kk _Ok 



^^' 'â&'bc"'TL~ÔL' 



Comparant (1) et (3), l'égalité — -=:-— exprime que le point /, où la corde 



résultante AL touche son enveloppe, est situé sur la bissectrice de 

 l'angle AOL. La réciproque du théorème 2 est applicable : on peut con- 

 struire un cercle u^j tangent en /à l'enveloppe cherchée, et ayant le même 

 point central O (et le même axe radical) avec tous les cercles proposés. Ce 

 résultat acquis, on fait voir par le raisonnement connu que tous les cercles 

 «m se confondent en un seul, qui est l'enveloppe cherchée. 



» Remarque. — Le théorème sur les polygonesyermeA' résulte, comme on 

 sait, du précédent. Une seconde démonstration, à peu près aussi simple et 

 plus générale, repose sur la substitution des lemmes suivants aux lemmes i 

 et 2. 



(*) La proposition énoiirée pour le cercle demeure vraie pour une conique quelconque, 

 ft s'v démontrerait directement à l'aide d'un théorème de Carnot. 



