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 Maintenant, soit 



?dp + Mcl[j. + N<^v = o 



la différentielle de (i); il est clair que P, M, N, sont des fonctions de 

 0, fA, V, respectivement, et toutes les surfaces qui appartiennent à ce système 

 seront coupées orthogonalement par celles d'un autre système ayant pour 

 équation différentielle totale 



V'dp + M'dix -+- Wdv — o, 

 ponrvii qu'on ait 





(p'-f.'){p'-'^') (p'-p-')(r--') 



f - V') (p^ 



= O. 



La condition qu'on vient d'écrire résulte des valeurs des élément ds' , ds", ds" 

 des lignes de courbure des trois surfaces homofocales au point p, fjt., v, 

 savoir 



./.' = ^py/[; 



p'-f>')(p^- 



i')(p' 



^--Vfï^Ht^ 



rf/-=:rf,^/ ';:-:''i':-: 



On s'apercevra sans difficulté qu'on satisfait à cette condition en posant 



PP'=-^-^. MM' = -v-!-T-,. NN' = 



p»— b 



ou bien encore en faisant 



u.'— b' 



b'—y 



PP' 



MM' = - 



NN' = 



p- — c- 



Par conséquent, si l'on pose 



/dp /' dut. f dv 



P(p'— b'} "^J M(f/.2— è') ~J N(è^ — -;2 



/ <^p _ r <^p _ r ; 



et que l'on désigne par /3 et y deux constantes arbitraires, le^ équa- 



