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 nous u=:f-:>, f = 7, ii + /5p = y, représenteront trois systèmes coupant le 

 système donné (i) orthogonalenient. 



)i Tous les systèmes coupant ortliogonalement le système donné s'ob- 

 tiennent, comme on le trouvera aisément, en intégrant l'équation suivante 

 aux différentielles partielles : 



;Mais on voit que cette équation a pour intégrale particulière 



celte intégrale renfermant deux constantes arbitraires, il s'ensuit par la 

 méthode de Lagrange, que l'intégrale générale sera 



(f{u,v) = o, 



o désignant une fonction arbitraire. 



» La recherche des cas où les systèmes u =^ fj, v = y sont eux-mêmes 

 mutuellement orthogonaux, nous conduit à quelques résultats dignes 

 d'intérêt. Ceci aura lieu si l'on a 



(2) ^p^ âP~^^^~°' 



condition à laquelle on satisfait en prenant 



P» — M- = N% 



ce qui ne peut avoir lieu que si chacune de ces quantités a la même valeur 

 constante. 



)■ Supposons donc 



P = M = N = I , 



et nous aurons, après quelques intégrations faciles, le système triple de 

 surfaces orthogonales que voici : 



p + fjH- V = a, 



(p_/,)(p-^)(&-v) _ 



(p-(-c)(f_^) (c — v) _ 

 (p-4-f)(c-H,x)(c + v) '• 



» En vertu du théorème de M. Dupin, les lignes de courbure d'une sur- 

 face appartenant à un quelconque de ces systèmes seront données par ses 



