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 inlerseclions avec Jes surfaces des deux autres systèmes. Le nombre de 

 tels systèmes conuus aujourd'hui des géomètres est assez limité, ce qui 

 donne plus d'intérêt à la découverte d'un système nouveau. On doit à 

 M. Serret d'avoir donné plusieurs beaux résultats de ce genre dans un 

 Mémoire remarquable publié dans le Journal de Mathéinnliques (t. XII, 

 i" série). 



» On trouve assez simplement les équationsen x,j,z^ des surfaces qu'on 

 vient d'obtenir. En effet, rappelons-nous qu'on a, en désignant respective- 

 ment par Q et ), les deux quantités (5 + p. + v, pp. -h py -h p.v, 



(3) 6^- iI = .t' -h j' -h z- + b- + c\ 



(4) >.-- 2bOcx=^{h- + c')x^ + c'y- +h'z- + b^cK 



Par conséquent, les surfaces qui composent le système (a), pour lesquelles 

 S =^ a, ont pour équation 



(5) (x= + j= + z- -4- A= + c=+ u.-)-= [\ [(/^^ + c=).z= + c\y-' 



+ b- z^ + -2 nbcx -\- b^c'']. 



L'équation elliptique du système (|3) nous donne immédiatement 



(6) (i - fi)b' -(i +/5)c.r- (r +/5jZ'Ô + (i -fi)l=o. 



» En mettant dans (3) et (4) au lieu de), sa valeur tirée de (G), on ob- 

 tiendra deux équations quadraliques en d, entre lesquelles si l'on élimine 6, 

 l'équation résultante en ar, ^, z, sera celle des surfaces du système (]3). 

 Semblablement, on parviendra à l'équation du système (y) en éliminant, de 

 la manière indiquée, les quantités 9 et ). entre (3), (4) et l'équation que 

 voici : 



(i +7)r^-(i -7)^..^' -(r -■/)ce-h (1+7)), = o. 



» Il est intéressant de remarquer que les lignes de courbure des sur- 

 faces (a) (des deux systèmes) sont des courbes sphériques, qui sont situées 

 aussi sur une surface du second degré. En faisant dans [6)6= a, il est 

 évident, en combinant avec (3) l'équation résultante, que les lignes de 

 courbure (/3) se trouveront placées sur une sphère ayant pour équation 



a:^ + j^+ - + a(.-t-fO(c.r+Z-.) ^ ^^, ^ ^^, _ ^^, 



I — j 



C. R., 1861, 3""" Semcsire. (T. LUI, N" 15.) 73 



