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 Cette observation nous conduit à une construction géométrique des surfaces 

 dont il s'agit. Voici le théorème qui en résulte. 



» Etant donné une série d'ellipsoïdes homofocaux, soit un point pris 

 arbitrairement sur i'un des axes, et considérons ce point comme le sommet 

 de cônes circonscrits aux ellipsoïdes du système homofocal. Le lieu des 

 courbes de contact sera une surface déterminée, et en faisant varier la posi- 

 tion du sommet sur le même axe, on aura une série de surfaces renfermant 

 un paramètre arbitraire. Pareillement, deux autres systèmes, dont chacun 

 contient une constante arbitraire, s'obtiennent de la même manière, en 

 prenant des points, situés sur les deux autres axes, pour sommets de cônes 

 circonscrits. Les surfaces qui appartiennent respectivement à ces trois sys- 

 tèmes, se coupent mutuellement, deux à deux, à angles droits. 



» De plus, les intersections deux à deux des surfaces de ces trois systèmes 

 (ou les lignes de courbure) sont des courbes planes, et ces courbes sont des 

 cercles, dont les plans sont perpendiculaires aux plans principaux. C'est 

 ce que nous allons faire voir. Il est évident, d'après les équations (7), 

 qu'une ligne de courbure provenant de l'intersection d'une surface (a) 

 avec une surface (|3) sera située dans le plan ayant pour équation 



Semblablement les lignes de courbure (a, 7) et (jS, -y) se trouvent situées 

 respectivement dans les plans 



ax — yz = c", |3 )■ — yz =: c^ — h^ . 



» Maintenant rappelons-nous que a, p, 7 représentent les distances au 

 centre, des sommets des cônes circonscrits mesurées respectivement suivant 

 les axes des x^ j et z. Soit O le centre, et faisons OA = a, OB = |3 ; il est 

 évident que l'intersection de la surface (a) avec la surface (|3) sera le lieu 

 des points (M) sur les ellipsoïdes homofocaux, où les plans tangents coupent 

 les axes des x et j respectivement aux deux points donnés A et B. Par 

 un théorème de M. Chasles, la normale à l'ellipsoïde homofocal au point M 

 perce le plan xy dans un point P qtii est le pôle de la droite AB, par rap- 

 port à la conique focale située dans ce plan. Par conséquent, le point P 

 est donné. Abaissons donc de P une perpendiculaire PQ sur AB, et le lieu 

 de M ou la ligne de courbure provenant de l'intersection de (a) avec (|3) 

 sera un cercle décrit avec PQ comme diamètre dans un plan perpendi- 

 culaire à AUB. Parediement on peut démontrer que les deux autres lignes 

 de courbure («, 7)et(]5, y) sont des cercles situés comme nous l'avons dit, 



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