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 saire de supposer M variable avec la hauteur h et de remplacer M par 

 M^-A-7^, k étant déterminé de manière à ce que l'on ait, par exemple, 

 220 mètres pour le décroissement de 1° quand on est à une hauteur de 



7000 mètres. On aurait ainsi M + 7000^ = 220 et A = "^°~'^*. La f'or- 



7000 



mule ainsi modifiée semble devoir représenter d'une manière suffisamment 



exacte la constitution de l'atmosphère et son effet sur les rayons lumineux 



qui la traversent. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations aux dérivées 

 partielles du premier ordre; par M. J.-A. Serret. 



« 1. Tous les géomètres connaissent les belles recherches de Cauchy 

 et de Jacobi sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du pre- 

 mier ordre; les méthodes remarquables auxquelles ces illustres savants 

 ont été conduits résolvent la question proposée de la manière la plus géné- 

 rale, et il semble qu'il n'y ait plus rien à ajouter à l'analyse qu'ils ont dé- 

 veloppée. 



» Cependant la méthode de Jacobi et celle de Cauchy laissent subsister 

 une difficulté que mon savant confrère et ami M. Bertrand a signalée le 

 premier {voir t. XLV des Comptes rendus, p. 617), et qui résulte de ce 

 que le procédé de démonstration employé cesse d'être admissible lorsqu'une 

 certaine quantité qui s'introduit dans les calculs devient infinie ou indé- 

 terminée. Or, ainsi que l'a remarqué M. Bertrand, cette circonstance se 

 présente dans le cas le plus général, et non pas seulement dans quelques 

 cas exceptionnels. Pénétré de la valeur de cette objection, M. Ossian Bonnet 

 a cherché à s'affranchir des difficultés en question, et il a fait connaître une 

 démonstration géométrique du théorème de Jacobi pour le cas où le nombre 

 des variables indépendantes se réduit à deux (t. XLV des Comptes ren- 

 dus, p. 58 1). 



» Mais le travail de M. Bonnet ne jette aucune lumière sur la portée véri- 

 table de l'objection formulée par M. Bertrand, laquelle subsiste dans son 

 entier. J'ai l'honneur de faire connaître aujourd'hui à l'Académie le résul- 

 tat des réflexions que j'ai faites sur ce sujet et que je lui aurais communiqué 

 depuis longtemps si je n'avais été détourné de cette étude par des travaux 

 d'une autre nature. 



» Dans les explications qui vont suivre, je prendrai de préférence, pour 

 point de départ, la méthode au développement de laquelle Cauchy a consacré 



