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 h première partie de son Mémoire ( Exercices dJnnlyse et de Physique ma- 

 thématique, t. II, p. 238), et je me bornerai, dans cet article, au seul cas 

 de deux variables indépendantes. 



» 2. Soit 

 (i) F{x, j, z, p, q) =o 



l'équation proposée, dans laquelle z désigne une fonction inconnue des 

 deux variables indépendantes j: et j et où p et q représentent les dérivées 

 partielles de z par rapport à a: et à j^ respectivement. Pour acliever de 

 déterminer la fonction inconnue z, nous supposerons qu'elle soit assujettie 

 à se réduire, pour x = Xo, à une fonction donnée, mais arbitraire y (7 ) 

 de J-; dans la même hypothèse, on aura 



» La méthode de Cauchy, fondée, comme celle d'Ampère, sur le chan- 

 gement de l'une des variables indépendantes, ramène le problème proposé 

 au suivant : 



» Trouver quatre fonctions y, z, p, q des deux variables indépendantes x 

 et jo qui satisfassent généralement aux deux équations 



(2) 



dz = pdx + qdjy 



F (.r, J, z, p, q) = o, 



et qui^pour x = x,,, se réduisent respectivement à jo, Zq, po-, qoj nous fai- 

 sons, pour abréger, 



(3) ^o=/(jo), 7o=/'(jo), 



et nous désignons par p^ une quantité déterminée par l'équation 



(4) ï'I'ï'o, fo, Zo, Po, 70) = o. 



B Ce changement de variables conduit, pour la détermination des quatre 

 inconnues, à quatre équations simultanées aux dérivées partielles; mais 

 parce que ces équations ne renferment point la variable jo-, elles doivent être 

 traitées comme des équations différentielles ordinaires, et si l'on désigne 

 par 



Xclx + Ydj + Zdz + Pdp + Qdq 



la différentielle totale du premier membre de l'équation (11, on [)eut les 



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