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faudra égaler à zéro les coefficients de dx et de dfo et l'on obtiendra 

 deux équations qui devront être identiques en vertu des équations (6). I/ime 



de ces deux équations contiendra nécessairement la dérivée -—■> et l'iden- 



tité dont nous venons de parler, ne pourra avoir lieu que si le coefficient 



de -j^ s'annule. L'équation où figure cette dérivée se décompose ainsi en 



deux autres, et l'on obtient de cette manière les trois équations qui, avec 

 l'équation ( 7) , constituent les deux systèmes (8) et (9). 



» Pour reconstruire l'équation proposée (i), il suffit évidemment d'élimi- 

 ner ; 01 Zo>7o entre les équations (7) et (9); d'où il suit que la seule équa- 

 tion (7) satisfait à l'équation (i), si l'on y regarde 7o et Zq comme deux 

 constantes arbitraires; puisque les valeurs do p eX àe q que l'on en tirera 

 dans cette hypothèse, seront les mêmes que celles obtenues dans l'hypo- 

 thèse où j-n et Zp sont variables et assujetties à la deuxième équation (8). 

 Cette solution particulière qui accompagne toujours une forme déterminée 

 de l'intégrale générale, est ce que Lagrange a nommé une intégrale complète; 

 nous allons voir dans quel cas elle peut nous donner la solution du pro- 

 blème proposé. 



en fonction des quantités de l'intégrale. Pour cela, je supposerai, en vue 

 d'abréger, que l'on ait résolu l'équation (7) par rapport à z et que l'on en 

 ait tiré la valeur z = M, M étant une fonction donnée de jt, J,foi ^0 9"' 

 se réduit à z^, pour jr = x^<èt j ^^ jo. Les équations (8) et (9) seront plus 

 simplement 



•°) ^=^1' ;7^ + 7o^ = o, 



dm. rf M 



On peut obtenir la valeur de la différentielle totale dF du premier membre 

 de l'équation (1), en ajoutant la différentielle de la première équation (10) et 

 celles des équations (i i), après les avoir multipliées par des facteurs 

 convenables X, p, v,, propres à faire disparaître dj^ et dz^. Ori a donc 



^ ^ \dF = {1—- +u.-, - + V , , ] dx + [l -j- -\- p. -j—r -)- V -rr d) 

 ( 12) { \ dx f^ ilx^ dx dy j \ dr ' dx dy d)- j 



\ — Idz — p.dp — vdq , 



