( 644 ) 



T[^l!;ORIE DES NOMBRES. — Généralisation d'un théorème de M. Cauchv; 

 par M. Sylvester, de Wooiwich. 



n Dans son Mémoire sur les arranqements, i844î M. Caucliy a établi le 

 théorème suivant : 



» Soit n un nombre entier donné 



an + jSè + yc -h. ..H- À/ = n; 



en supposant «, ^, c,.--, ^ des nombres entiers et inégaux, a, |3, y,..., / des 

 nombres entiers, et en faisant varier de tontes les manières possibles les 

 valeurs du système rt, è, c,..., l, on aura 



îra,7rp...7rAa''-i'^. . . l^ 



I, 



où 7TX signifie le produit i.2.3...x. 



» Je vais démontrer qu'on peut exprimer d'une manière très-simple la 



valeur générale de 7 ; pour une valeur quelconque d'une 



•"^ TT'j.Tzfi . . . i:! n" b'' . . . V 



constante &). 



» En effet, il est très-facile de voir qu'en posant l'équation en nombres 

 positifs et entiers 



^, + jr, + JT'a -+-... 4- J"^ = «, 



et en attribuant à x,, jr\,..., .r,. toutes les valeurs possibles qui satisfont à 

 cette équation (en regardant comme distinctes les solutions qui diffèrent 

 dans les valeurs des .t', quoique contenant le même système de valeurs), on 

 peut représenter la série (nommée fonction de n et cj) sous la forme 



; =1 



2S 



.J-,X3 . . . X, ir [r] 

 r = ce 



c'est-à-dire 



l.nr,n)^. 



Or on voit immédiatement que F(r, ») n'est autre chose que le coefficient 

 de t" dans le développement de la fonction génératrice f i 4- - + ^ +. . . j> 



