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 c'est-à-dire dans le développement de log(i — t)-'' . Donc évidemment la 

 série totale sera le coefficient de t" dans le développement de g" '°bK'- ')''], 



c'est-à-dire de t" dans 



i — 1 1 



» En prenant « = i , on voit que la valeur est toujours l'unité pour toute 

 valeur de n, ce qui est le théorème de Cauchy. En prenant w = — /, i étant 

 un nombre entier quelconque |)lus petit que n, on trouve la valein- zéro. 

 Pour le cas de w = — i , cette remarque avait déjà été faite par M. Cayley, 



dans le Philosophical Magazine (mars 1861). En prenant w = -t on trouve 



pour la valeui' de la série — '■ — y-^ » ce qui peut se déduire aussi [)ar 



la méthode des arrangements, en se servant du théorème que le nombre 

 des substitutions de an lettres qui peuvent être représentées par des égales 

 d'un rang exclusivement pair est [i .3.5,.. (2 n — 1)]-, théorème que je crois 

 être nouveau, mais qui est intimement lié au théorème célèbre de M, Cayley 

 sur la valeur des déterminants dits gauches. 



•' Voici une dernière observation que je fais sur le théorème général. On 

 remarquera que l'exposant de &) (a + j3 -f-... + X) est le nombre des parties 

 dans la partition de n, représentée par a répétitions de a, j3de^,..., X de 

 / : je nommerai donc a-h^-hy-h...-+-'k \' indice de cette partition, et je 

 dis qu'étant donné le nombre de ces indices, disons f (nombre qu'on peut 

 trouver pour une valeur quelconque de n par le théorème très-bien connu 

 d'Euler sur les partitions indéfinies), on peut faii'e dépendre les valeurs de 

 ces i> indices de la solution d'un système de a/x équations algébriques à 

 a|j, inconnues. Car pour une valeur quelconque de w on connaîtra par le 



théorème du texte la valeur de — H h... + — 5 où /, , '2,.,., ?V seront 



les indices cherchés, et f/,, (/a,..., 7 des quantités inconnues, mais indépen- 

 dantes (le w. En substituant pour oj successivement 00, w", w',.. , w^'' et en 

 écrivant &)'>■ == I^, on aura a p. équations de la forme 



I* T* I* 



A" prenant toutes les valeurs de i jusqu'à ifx. On peut donc former une 

 équation dont dépendrai la valeur de chacune des quantités I,, Ij,..., I^, 

 et conséquemment de leurs logarithmes /,, />,... ^ ;>, les |u. indices de la 

 partition indéfinie de n. » 



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