( 7^2 ) 



thèqiic de cette École dans le nombre des établissements auxquels elle fait 

 don de ses Comptes rendus. 



(Renvoi à la Commission administrative. ) 



THÉORIE DES ISOMBRES. — JdditioH à la Note intitulée: Généralisation d'un 

 tliéorème de M. Cauchy, et insérée dans le Compte rendu de la séance du 

 7 octobre dernier; par M. Sylvkster, de Woohvich. (Extrait de plusieurs 

 Lettres adressées à M. Serret. ) 



« En suivant la même marche que dans la Note dont il s'agit, on parvient 

 très-facilement à résoudre une question un peu |)lus compliquée de la 

 théorie des arranc/emenls, savoir : Trouver le nombre de suhsiilutions de 

 n lettres quon peut représenter par te moyen d'un nombre donné r de substitu- 

 tions cycliques d'ordres impairs. 



» Pour que ce nombre ne soit pas zéro, il faut que ti — r soit un nombre 

 pair 2i; alors le nombre demandé sera la somme suivante 



2;[(v: + v,)(v-4-v,)...(v:+vj...{v; + v,)], 



où le signe 2] se rapporte à tous les systèmes possibles de nombres entiers 



y, , Vo,. . . , Vg, . . . , V, qui satisfont aux inégalités 



v<.> v,,_, + 1, Ve<« — 1. 



» Désignons par [n, r] le nombre des substitutions exprimé par la somme 

 précédente, et par [n, r) le nombre correspondant jjour le cas où les r 

 substitutions cycliques sont chacune indifféremment d'ordre pair ou d'ordre 

 impair. On a déjà trouvé que («, r) est la somme des produits de n — r 

 quelconques des nombres i, 2, 3,..., [n — i), et l'on voit à présent que 



[n, r] n'est autre chose que la somme des produits de facteurs dont 



chacun est le produit d'un terme de la même suite de nombres par le terme 

 suivant. Et de même que {n, r) satisfait à l'équation fonctionnelle 



(" + '. r-\-i) — (ri, r] _ 



- — [ n I , r j, 



la fonction \n, r] satisfait à l'équation analogue 



[« + 2, r+2]— [n, r] ,r- -, \ r Q 1 



i -^ — '- '- = {n + i)[«- 2, r] + {n _ i)[n_3, '■- i], 



comme il est facile de s'en assurer. 



