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 » On peut ajouter que (n, r) (pour n — r positif) et [n, r\ ipouv'-^^^ 



positif) sont tous deux divisibles par n quand n est un nombre premier. 



Ce théorème est bien connu en ce qui concerne [n, r), mais il me parait 

 nouveau à l'égard de [n, r]. ;Au reste, on peut appliquer aux deux cas la 

 même démonstration fondée sm- ce que le nombre de produits de cycles 

 correspondant à chaque partition de n est évidemment un multiple de ti. 

 » Voici un exemple du théorème énoncé au commencement de cette 

 Note : Le nombre des substitutions de 6 lettres qu'on peut représenter par 

 le produit de deux cycles d'ordres impairs sera, d'après noire formule 

 générale, 



2Xi2 + 2X20 4-6xao = 184, 



ce que l'on peut vérifier bien facilement en remarquant que ce nombre 

 doit être 



6 X 24+ 10 X 4 = 184. 



» On démontre encore très-facilement que le nombre total des substitu- 

 tions de n lettres représentées par le produit de substitutions cycliques 

 d'ordres impairs est 



[..3. 5. ..(«-or 



quand n est pair (c'est le même nombre que nous avons déjà obtenu pour 

 les substitutions cycliques d'ordre pair), et 



n[i .3.5.. .{n- 2)Y 



quand n est impair. 



» On peut donner une extension très-considérable aux théorèmes énon- 

 cés précédemment, en considérant le nombre des substitutions de n lettres 

 formées avec les produits de n substitutions cycliques où l'ordre de chaque 

 cycle est congru à un nombre p par rapport à un module donné y.. 



» La solution dépend toujours des combinaisons des nombres de la série 

 1, 2, 3, . . ., [n — 1). Je me bornerai ici au cas de p = i qui est le plus 

 simple, en exceptant celui de p = o, dont la solution est évidente. Dans le 

 cas de p = I , le nombre cherché est exprimé par la somme 



y n(vi + pt — i)n(v;-i-pt— i). ..n(v,-f-p — 1) 

 ^ n(v, — i)n(v,— I). . .n(v,- — i) ' 



