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 circonstance se présentera en général, si l'on attribue une forme détermi- 

 née convenable à ia fonction /(x,, x.,..., .r„_,) qui exprime la valeur 

 de X dans l'hypothèse x„ = ^„; mais je dis que : 



' "— dx,i cesse d'avoir une valeur finie et déterminée pour 



?„ " 

 une certaine forme de la fonction f (x, , x^, . . , .r„_,), les formules (6) deviennent 

 illusoires et cessent de fournir la solution du problème proposé ; celle-ci est donnée, 

 dans ce cas, par tune des intégrales subsidiaires qui accompagnent chaque forme 

 de iintégrale générale. 



» 2. Considérons toujoui's la fonctiony(j?,, x^,..., j'„_,)comme indéter- 

 minée et supposons que l'on ait partout remplacé fsr,, par sa valeiu- tirée de 

 l'équation (4)- Alors les expressions de x,, x^,. . ., x„_,,x, fournies par les 

 n premières équations (6), ne renfermeront plus que n — i quantités <zir, et 

 il pourra se présenter deux cas. Ou bien l'on poiura tirer de n — i de ces 

 équations les valeurs de -ar,, (zjr^,..., ns-n^^ exprimées en fonction de 

 X, ,r,, j-j,. ..,.T„, ^, H,,- •■) 0H-oPt en les portant dans la n''"", on aura 

 une équation ne renfermant aucune des quantités /sr. Ou bien les n pre- 

 mières équations (6) permettront seulement d'exprimer n — p. des quanti- 

 tés (ZEr,, '^„,..., 'STn-\ en fonction des fi, — r autres, \x étant > i, et, dans ce 

 cas, les mêmes équations (6) fourniront en outre, par l'élimination, [x équa- 

 tions entre les seules variables x, .r,, x^,. . , .r„, 0, ^|,. . ., ^„_|. On voit faci- 

 lement que le cas de rj. = n ne peut se présenter que si l'équation proposée 

 (^i) est linéaire par rapport aux dérivées. 



» Examinons d'abord le premier cas, dans lequel les équations (6) ne 

 peuvent donner qu'une équation unique 



(7) V(ir, X,, X2...., jr-„, f, ^,..., 0„_,) = o, on V = o, 



entre les seules variables x^ J^,vi ?? le-- Dans ce cas, le déterminant 



D = 



est différent de zéro, et il en est de même des déterminants Bl^ D,,..., D„„, 

 que l'on déduit de D en remplaçant successivement <p,, Çj,..., y„_, par f. 



