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» 4. On voit que l'intégrale — / ^-d-'i^'n "e peut cesser d'être finie et 



déterminée que si l'on attribue à la fonction J{oc,, oc.,..., x„_t) une forme 



telle, que la dérivée -rr devienne nulle, infinie ou indéterminée après la sub- 



stitution des valeurs de j:,, a\_,..., jc„_, tirées des équations (9). Mais alors 

 il est évident que l'on ne saurait tirer de ces dernières équations des valeurs 

 déterminées de x,, Xa,.--, -^«-i se réduisant respectivement à 0,, ^2,..., ^,,-1 

 pour x„=^„, puisque l'hypothèse .r, = Ç,, a.,= 02t---) -^'h = 0« doit ré- 



rlM 



duire '—7 à l'unité. Les formules générales deviennent donc nécessairement 



illusoires, et la solution du problème proposé ne peut être fournie que par 

 l'une des intégrales subsidiaires qui accompagnent l'intégrale générale. 



M La seule équation x = M satisfait évidemment à l'équation propo- 

 sée (0, si l'on y regarde^,, Ç.»-- • Ç«-4 et par suite ^=J'(B,,^n, ..., 0„_,) 

 comme des constantes arbitraires; elle constitue une intégrale complète. Dans 

 l'uitégrale générale les quantités 0, ^,,- • • sont toutes variables, mais la 

 différentielle del équation x = M reste la même que dans le cas de ^,, Ço,... 

 constantes. On voit facilement que l'intégrale couiplète peut reproduire non- 

 seulement l'intégrale générale, mais plusieurs autres intégrales subsidiaires 

 moins étendues que celle-ci et qui, de même que l'intégrale complète, ne sau- 

 raient être comprises dans l'intégrale générale. Il est évident, en effet, que 

 si l'on considère ?i — i — p. des quantités Ç, par exemple 0^^i, Ç^^-2V•• 0«-. » 

 comme des fonctions arbitraires des |x autres, savoir Ç,, ^2, . ■■ §^^ , on sa- 

 tisfera à l'équation proposée par un système de [j. -+- i équations dont l'une 

 sera 



(;7) x = m 



et dont les fjt, autres se déduiront de la suivante 



/=n— I 



en donnant à i\es valeurs i, 2,. . . , /jl. 



» Cela posé, si les équations (9) sont impropres à fournir des valeurs de 

 X,, .Ta,. . . x„_, qui se réduisent respectivement à Ç,, 0n,...Ç„_i pour 

 a„ = ^„, il est évident que l'hypothèse x„ = f „ fera rentrer quelques-unes 



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