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 de ces équations dans le système des autres, et il en résultera une ou plu- 

 sieurs équations identiques, puisque les équations (9) sont toutes vérifiées 

 quand on pose j?, = ^,, x^ = Ç3, . . ., x„ = ^„. 



» Il peut arriver que l'hypothèse x„ = ^„ transforme ainsi toutes les 

 équations (9) en identités; dans ce cas, toutes les auxiliaires 0,, 02? •• m 0n-i 

 disparaissent de l'équation (17) quand on y fait jr„ = 0„, puisque les déri- 

 vées de M par rapporta 0,, 02» • • • Bn-t sont alors nulles; et. comme cette 

 équation est satisfaite quand on pose simultanément x, = ^,, . . . x„ := ç„ et 

 X =/(?., 02, •••■> 0H-O' ^lle donnera généralement x =f[x^,x^, ...,x„_,) 

 pour x„ = 0„. Ainsi, dans le cas que nous considérons, la solution du pro- 

 blème est fournie par l'intégrale complète qui accompagne l'intégrale géné- 

 rale, et danslaquellesubsistent n — i constantes arbitraires ^,, Ç.,, .. ., 0„_,. 



» Supposons en second lieu que les // — 1 équations (9) se réduisent pour 

 ,r„ = 0„ à fx équations distinctes qui correspondent aux valeurs i, 2, ...,/Ji de 

 l'indice/. On peut admettre que l'on ait tiré de ces équations les valeurs de 

 ?\^B->i ■ • ■ ^ . ^^ qu'on ait substitué ces valeurs dans l'équation x = M. Je 

 dis alors que l'hypothèse x„ — 0„ fera disparaître de M toutes les auxiliaires 

 restantes 0^^,, 0^^,, . . .,?„-,• Soit, en effet, 0y l'une de ces auxiliaires : après 

 la substitution dont nous venons de parler, toutes les équations (9) se trans- 

 forment en ideutUés, et la même chose a lieu à l'égard de la dérivée de M par 

 rapport à ^j, car celte dérivée a pour expression 



t = « 



l'dM dM\ ^ .du dM\ dlj 



\dçj^ ""^ di] ' ^\dc, ' "' dïj dij 



— étant ici la dérivée partielle de 0, par rapport à 0y tirée des p. équations 



d ij 



distinctes auxquelles se réduit le système (9) pour x„ = 0„. Toutes les auxi- 

 liaires disparaissant de l'équation x =M quand on fait x^ = 0„, il s'ensuit 

 que, dans cette hypothèse, cette équation se réduit à x =/(j^( , -Xï, . . . , x„_,), 

 puisqu'elle doit être vérifiée quand on pose x, =0,, J"2 = ?2, • • • -^n = 0« 



et j:=_/(0,, 02, •••, 0„-. )• 



» Cela étant établi, considérons la solution de l'équation (i) qui est four- 

 nie par les équations (17) et (1 8), et qui renferme n— i — fifonctions arbi- 

 traires de (j. variables. Il est évident, d'après ce qui précède, que l'équa- 

 tion (17) se réduira, pour .r„ = 0„, et en vertu des équations (18), à 

 X =y\.r,, X2, ...,.r„_,), car dans l'hypothèse x„ = ^„ le système des 

 équations (18) équivaut évidemment aux (j. équations distinctes auxquelles 



