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 i" aux fi — I équations qui se déduisent de la suivante : 



en donnant à i les valeurs i , 2, . . . , /u. — i ; 3" aux n — \i. équations com- 

 prises dans 



dxdlj ' dxd\j 



~' dxdlj ) 



(29) 



1^ 



d-^ 



>.A,: ~. — rr — 'Sr, -^ — 'Sr 



^^'Xdxid^j ^ dxidtj ."■-' dx.d^j 



en donnant à y les valeurs pi, /j, + 1, ...,(«— i). Il est évident que les 

 équations (27), (28), ( 29) sont satisfaites en posant 



les différentielles r/jr, rfr,- se rapportant au cas où l'on considère x, a\,. . . , 

 x„_, comme des fonctions de x„ déterminées par les équations (19) et (20). 

 » L'équation (26) donne alors 



d'ailleurs il est évident, d'après l'équation (24) et les équations (19), que fi 

 se réduit à l'unité pour x, = 1,, x^ = Çjv? ^n = Ç«i ^=0; on aura 

 donc 



(3o) — r ''^clx„= logû. 



n 7. L'intégrale contenue dans le premier membre de cette formule (3o) 

 ne peut cesser d'avoir une valeur finie et déterminée que si O devient 

 nulle, infinie ou indéterminée pour une certaine forme de la fonction 

 /{x,, Xj,..., j:"„_,). Il est évident que, dans ce cas, les formules générales (6) 

 deviennent illusoires, et l'on reconnaîtra facilement en suivant la marche 

 que nous avons tracée, que la solution du problème est donnée soit par 

 l'équation unique V = o, soit par l'une des intégrales plus étendues que 

 l'on obtient en joignant à l'équation V= o celles qu'on en déduit parla 

 différentiation relative à quelques-unes des auxiliaires ^. Si 0^, ?^^,? ■ ■ ■ ■> 

 _ , par exemple, sont les auxiliaires dont il s'agit, on devra regarder 

 les auxiliaires restantes Ç^^,^, ^_,_,i ■ ■ ■ -, ?«-i comme des fonctions arbi- 

 traires des premières. » 



