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 qui passe par deux droites situées sur cetle surface. {>ette remarque a été 

 laite en premier lieu par M. Salmon, dans un Mémoire suf la classification 

 des courbes à double tourbure (i) ; elle s'est offerte aussi à M. Steiner, dans 

 le Mémoire siu- les surfaces du troisième ordre, où il démontre qu'il existe 

 toujours sur une telle surface 27 droites [tant réelles qu'imaginaires (2)]. 



« Une des propriétés distinctives des deux courbes, c'est qu'une droite 

 lie peut s'ap|)uver qu'en deux points sur la [)remière, tandis qu'une infinité 

 de droites s'appuient en trois points sur la seconde. Ces droites sont les 

 génératrices de l'hyperboloïde qui a pour directrices deux droites de la sur- 

 face du troisième ordre. 



» t)n distinguera encore les deux courbes en disant qu'on peutfaire 

 passer une infinité de surfaces du second ordre et, en particulier, d'hyper- 

 boloïdes par la première, et un seul hjperboloïde par la seconde. 



» M. Cremona a fait connaître, par l'analyse d'un Mémoire lu à l'Acadé- 

 mie des Sciences de l'Institut de Bologne, plusieurs propriétés de cette se- 

 conde courbe dont il donne un mode de description fort simple (3). Il 

 désigne les deux courbes comme étant de première et de seconde esjièce. 



» Il est important, pour l'étude des propriétés de ces courbes, de savoir 

 les engendrer par points, de plusieurs manières, en les considérant comme 

 lieux géométriques. Le mode de génération que je vais faire connaître est le 

 même pour les deux courbes, et c'est surtout comme tel qu'il se recom- 

 mande : il s'étend au cas particulier de la courbe du quatrième ordre à 

 point double, ainsi qu'à la courbe gauche du troisième ordre. 



» Celle construction est une application fort simple du théorème général 

 concernant la description des courbes gauches d'ordre ( 2 /w+ 1) sur un 

 liyperboloide à une nappe, qui se trouve dans une récente communication 

 à l'Académie (4)- 



» En supposant w = 2, on construit une courbe du cinquième ordre, 

 au moyen d'iui faisceau de surfaces du second ordre. Il suffit ensuite de 

 disposer convenablement delà position d'une ou de deux des génératrices de 



(1) On the classification of ciiives nf double ciuvatarc, V. p. ^5-46 tin t. V du Cambridge 

 and Dublin niatlicnuitical Journal ; année i85o. 



(2) Urbcr die Flâchen drïllcn Grades, V. Journal de Crcllr, I. l.III ; année iSS'j. 



(3) huorno alla curva gobba dcl quart^oriline per la cjualc passa una sala superficie di 

 seconda gradn, siinlo <li una Menioria letta ail' Accad. délie Scienzc dill' Istiliito ili Biilo- 

 gna, ai 7 di mar/.o uStii. 



(4) Comptes rendus, i. \A\, y\. 1 io4, séance du 3 juin i8(ji. 



