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 l'hyperbolo'ùle, pour que cette courbe se réduise mu quatrième ou au troi- 

 sième ordre. 



» On peut prendre pour le faisceau de surfaces du second ordre, des 

 hyperboloïdes ayant une génératrice commune et passant par une même 

 cubique gauche. 



>> On peut au.ssi prendre pour le faisceau de surfaces des couples de plans 

 en involution autour d'un même axe ; ce qui offre de nouvelles ressources. 



» Voici l'énoncé général du théorème relatif à la génération d'une courbe 

 gauche du cinquième ordre. 



» Théorème. — Qu'on ait un liyperboloïde A et un faisceau de surfaces du 

 second ordre (B) ; que les (jënér'itrices {i) de i hyperboloide correspondent anhar- 

 monicpiement aux surf aces du faisceau : les points d'intersection de ces généra- 

 trices par les surfaces correspondantes auront pour lieu géométrique une courbe 

 gauche du cinquième ordre. 



» Cette courbe a huit points situés sur la courbe à-double courbure du 

 quatrième ordre c[ui forme la base du faisceau de surfaces (B) , et deux 

 points, outre 'ces huit, sur chacune des surfaces. Ce sont les deux points 

 dans lesquels chaque génératrice de l'hyperboloïde A rencontre la surface 

 qui lui correspond. La courbe a trois points sur chacune des directrices 

 de l'hyperboloïde (2). 



H Si les surfaces du faisceau sont des hyperboloïdes ayant en commun 

 une génératrice et une cubique gauche, la courbe du cinquième ordre 

 aura deux points sur la génératrice et six sur la cubique. 



» Corollaire. — On peut prendre pour le faisceau de siufaces du se- 

 cond ordre, un système de couples de plans en involution qui correspon- 

 dent anharmoniquement aux génératrices de l'hyperboloïde A. Il en ré- 

 sulte ce théorème : 



)) Quand on a des couples de plans en involution autour d'une même arête, et 

 un hjperboloïde dont les génératrices correspondent anharmoniquement à ces cou- 

 ples: le lieu des points d'intersection de chaque couple de plans par la génératrice 



(i) Il s'agit des génératrices d'un même système; nous appellerons directrices ceWes thi 

 second système. 



(2) Il existe sur un hyperboloide une autre courbe du cinquième ordre, que les généra- 

 trices d'un système rencontrent en quatre points et les génératrices de l'autre système en un 

 seul point. Cette courbe, que nous appellerons de seconde espèce, ne doit pas nous servir ici, 

 mais comme elle est susceptible d'une description semblable à celle de la première, nous 

 donnerons cette description à la fin du présent Mémoire. 



