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 (lin lui correspond, est une courbe du cinquième ordre qui a deux points dou- 

 bles sur [arête commune aux couples de plans. 



» Ces points sont ceux où l'hyperboloide rencontre cette arête. La courbe 

 a deux points sur chacune des génératrices de l'hyperboloide, et trois sur 

 chacune des directrices. 



Courbe gauche du quatrième ordre, de première espèce. 



» Première manière. — Que l'on suppose qu'une génératrice de l'hy- 

 perboloide A corresponde à un hyperboloïde faisant partie du faisceau (B) 

 et coïncide avec une génératrice de cet hyperboloïde; cette droite fera par- 

 tie de la courbe du cinquième ordre; on aura donc une courbe du r/i/n- 

 trième ordre; et cette courbe sera de première espèce, parce que toutes les 

 génératrices de Ihyperboloïde A la rencontreront en deux points, ainsi que 

 toutes les directrices 



» Deuxième manière. — Que toutes les surfaces B soient des hyperbo- 

 loides ayant en commun une génératrice et une cubique gauche; et que 

 l'hyperboloide A ait une de ses génératrices coïncidente avec la génératrice 

 commune à ces hyperboloïdes. Cette droite fera partie de la courbe du cin- 

 quième ordre, qui deviendra donc une courbe du quatrième ordre : celle- 

 ci sera de première espèce, parce qu'elle aura deux points sur chacune des 

 génératrices, comme sur chacune des directrices de l'hyperboloide A. 



Courbe gauche du quatrième ordre, de seconde espèce. 



» Que l'hyperboloide A ait une de ses directrices coïncidente avec la 

 droite commune aux hyperboloïdes du faisceau ; cette droite fera partie de 

 la courbe du cinquième ordre, dont l'autre branche sera une courbe du 

 quatrième ordre ; et celle-ci sera de secont/e espèce, parce que les génératrices 

 de l'hyperbeloïde A s'appuieront en un seul point sur la courbe, et les 

 directrices en trois points. 



Courbe gauche du quatrième ordre, à point double. 



» Pour construire cette courbe, on .se servira du corollaire du théorème 

 général, dans lequel au lieu d'hyperboloïdes on a des couples de plans en 

 involution. Il suffit de supposer que l'hyperboloide A qu'on prend arbi- 

 trairement ait une de ses génératrices située dans un des deux plans aux- 

 quels elle correspond. Cette droite fera partie do la courbe du cinquième 



