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 ordre, qui dès lors devient une courbe du qunlnème ordre. Et cette courbe 

 a un point iloubte, sitné an point où l'hyperboloide A rencontre l'arête com- 

 mune aux couples de plans, outre celui qui se trouve sur la génératrice 

 située, par hypothèse, dans un des deux plans qui correspondent a cette 



génératrice. 



Cubitjue gauche. 



» Première manière. — Si, dans le théorème général, deux génératrices 

 de l'hyperboloide A correspondent à deux hyperboloïdes du faisceau de sur- 

 faces quelconques du second ordre, et coïncident respectivement avec des 

 génératrices de ces hyperboloïdes, ces deux génératrices feront partie de la 

 courbe du cinquième ordre, qui se réduira donc à une cubique gauche. 



« Cette courbe n'aura qu'un point sur les directrices de l'hyperboloide A, 

 et deux sur ses génératrices. 



» Deuxième manière. — Que toutes les surfaces du faisceau (B) soient des 

 hyperboloïdes, et qu'une génératrice de l'hyperboloide A coïncide avec 

 une des génératrices de l'hyperboloide qui lui correspond, et qu'en même 

 temps une directrice de A coïncide avec la droite commune aux hyperbo- 

 loïdes B; la courbe sera encore an troisième ordre . Mais, à l'inverse de la 

 précédente, elle n'aura qu'un point sur les génératrices de l'Iiyperboloïde A, 

 et deux sur ses directrices. 



» Troisième manière. — On peut prendre, au lieu du faisceau d'hyper- 

 boloïdes, un système de couples de plans en involution, et supposer que 

 deux génératrices de l'hyperboloide A soient situées chacune dans un des 

 deux plans qui lui correspondent. Ces deux droites feront partie de la courbe 

 du cinquième ordre, dont une autre branche sera la courbe du troisième 

 ordre. Les génératrices de l'hyperboloide s appuient chacune en deux points 

 sur la courbe, et les directrices en un seul point. 



» Quatrième manière. — Il suffit qu'une génératrice de l'hyperboloide A 

 coïncide avec l'arête commune aux couples de plans en involution, cette 

 droite fait partie deux fois de la courbe du cinquième ordre, qui dès lors 

 devient la cubique gauche. 



<' Les génératrices de l'hyperboloide A s'appuient chacune en deux points 

 sur celte courbe, et les directrices en un seul point. 



» Ce résultat s'accorde avec une propriété connue de la courbe gauche 

 du troisième ordre, dont voici l'énoncé : Si une droite qui s appuie en deux 

 points sur une courbe gauche du troisième ordre, est l'arête commune à plusieurs 



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