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 aiujles dièdres en involiilion, tes cordes que ces angles inlercejilenl dans la courbe 

 forment un hyperboloide (i). 



» On reconnaît aisément que ces cordes correspondent anharmonique- 

 nient anx couples de plans qui forment les angles dièdres en involution ; 

 de sorte que ce théorème coincifle avec la construction de la cubique gau- 

 che à laquelle %'iennent de nous conduire des considérations générales très- 

 différentes. Un tel rapprochement peut offrir de l'intérêt, dans des matières 

 explorées pour la première fois. 



Conf^lruction de la courbe gauche du cinquième ordre de seconde espèce. 



» Nous avons dit qu'on peut tracer sur un hyperboloïde, par des consi- 

 dérations semblables à celles qui précèdent, une courbe du cinquième 

 ordre, qui rencontre les génératrices d'un système en quatre points et les 

 génératrices de l'autre système en un seul point. Voici comment on décrit 

 cette courbe. 



» Qu'on ail des systèmes de quatre plans en involution autour d'un même axe, 

 et un hyperboldide A dont les génératrices correspondent anhnrmoniquement à 

 ces sjslènies de quatre plans; quune génératrice de lliyperboloidc coincide avec 

 Farête commune aux plans : le lieu des points d' intersection des génératrices de 

 l' hyperboloïde par les plans des systèmes qui correspondent à ces génératrices, 

 sera une courbe gauche du cinquième ordre ipii rencontrera les génératrices de 



1 hyperboloïde en quatre points et ses directrices en un seul point. 



" En effet, les systèmes de quatre plans en involution représentent un 

 faisceau de surfaces du quatrième ordre qui correspondent anliarmoni- 

 quement aux génératrices de l'hyperboloïde A. Par conséquent, d'après 

 notre théorème général sur la description d'une courbe gauche d'ordre 



2 m 4- 1 , la courbe ici décrite sera de l'ordre 2 . 4 + i = 9- Mais la généra- 

 trice de l'hyperboloïde A qui coïncide avec l'arête commune aux systèmes 

 de plans, se trouve dans les quatre plans qui lui correspondent, et par 

 conséquent représente quatre droites coïncidentes qui appartiennent à la 

 courbe du neuvième ordre. Cette courbe se réduit donc au cinquième ordre. 



» Elle rencontre les génératrices de l'hyperboloïde en quatre j)oints, et 

 conséquemment ses directrices en un seul point, puisque chaque plan qui 

 contient une génératrice et une directrice ne peut rencontrer la courbe 

 qu'en cinq j)oints. 



(i) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XLV, p, 197; année i85^. 



