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Olxcivatidiis . 



» I. On voit aisément que ce mode de construction de la courbe du 

 cinquième ordre s'applique à la description d'une courbe d'ordre n quel- 

 conque qui rencontre toutes les génératrices d'un hyperboloïde en [n — i) 

 points, et les directrices en un seul point. 



M II. Nous nous sommes proposé de construire les courbes du quatrième 

 ordre et la cubique gauche d'une manière uniforme, en les considérant 

 comme cas particuliers d'une courbe gauche du cinquième ordre; ce qui 

 nous a permis de n'employer dans ces constructions que des siu'faces du 

 second ordre ou un système de couples de plans en involution. 



» Mais on conçoit qu'on pourra aussi considérer ces courbes comme 

 cas particuliers de courbes d'un ordre supérieiu- au cinquième, et les con- 

 struire au moyen de surfaces d'un ordre supérieur au second. 



» Par exemple, la courbe du quatrième ordre de seconde espèce dont 

 nous n'avons donné ci-dessus qu'une seule construction (quoiqu'elle doive 

 se présenter bien plus souvent que celle de première espèce, comme nous 

 le verrons dans un autre moment), se peut décrire comme cas particulier 

 d'une courbe du septième ordre. 



» Qu'on ait des groupes ou systèmes de trois plans en involution autour 

 d'un axe, et un hyperboloïde dont les génératrices correspondent anhar- 

 moniquement à ces systèmes de trois plans : les points d'intersection des 

 génératrices par les plans correspondants sont sur une courbe du septième 

 ordre. 



» Cette courbe a deux points triples sur l'axe des plans. 



» Si luie génératrice de l'hyperboloïde est située dans un des plans qui 

 lui correspondent, la courbe est du sixième ordre et a un point triple et un 

 point double sur l'axe des plans. 



» Quand deux génératrices sont situées chacune dans un des plans qui 

 lui correspondent, la courbe est du cinquième ordre et a deux points doubles 

 sur l'axe des plans. 



» Si une génératrice de l'hyperboloïde coïncide avec l'axe des plans, elle 

 {ait partie comme droite triple de la courbe du septième ordre, qui devient 

 une courbe du quatrième ordre de seconde espèce. 



» Cette courbe est de seconde espèce, parce qu'elle a trois points sur cha- 

 cune des génératrices de l'hyperboloïde. » 



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