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 servant qu'on ;i y = x+ ff'r) pour u — o, et y = x pour ii = t, il pu 

 résultera 



(5) £rl:r.. JcixJ^d^^ ^-^^^^ fy'{j).[:r+ tr^ir)- jfdy. 



Il n'est pas difficile ùe démontrer l'équation (5) par la méthode inverse. 

 En effet, faisant pour abréger t = o, diflerentions par rapport à .r les deux 

 membres de l'équation (5), nous aurons 



F'(x}.ç(xr; 



, 2 . D. . .n 



en diftérentiant cette dernière par rapport à Jt-, il vient 



£ rfx. . ./r,& = ,.,.3..',„_„ X'r'( J) ■ [- + ? (7) - 7]-*- 



J d[r{x),f{xY] ' Y' l %■] œ f rV'-' 



l.2.3...« '/.r l.2.3...(/î — l) 



On peut continuer cette différentiation et l'on obtiendra ' 



1.2.3 . .(« — i) ^"-= 2 rfo; i / ÏV y 



Et par la relation 



jT V(jy/j== F (2) -F(.r), 



on aura définitivement 



F (z) = F(.0 + F (X) ? (X) + . . . ^-^^/^=^i^^^ 



par conséquent la valeur de R qui représente le reste de la série de La- 

 grange peut être ainsi exprimée : 



11 = 



I .2 j 



TTn'^ fy' ^^'^■^•'' -^ "^"^''^ ~^'^"-'^^- " 



