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GÉOMÉTRIE. — Construction géométrique des surfaces ayant pour lieux des 

 centres de courbure les deux coniques focales d'un système de surfaces ho- 

 mofocales du second dec/ré; par M. W. Roberts. 



« Toutes les surfaces dont il s'agit sont parallèles et elles ont pour 

 équation en coordonnées elliptiques 



p -+- [J. + V =: X, 



d'après une remarque de M. Liouville. Nous considérerons en premier 

 lieu le cas de a = o; la construction relative à ce cas particulier peut se 

 généraliser sans la moindre difficulté. 



» Soient donnés deux cercles égaux situés dans le même plan et qui 

 se coupent en deux points réels; soient O, O' les deux centres et A le 

 milieu de 00'. Menons par A une droite quelconque qui rencontre les 

 cercles respectivement en deux points P, Q, situés du même coté de la 

 ligne 00', et décrivons avec PQ pour diamètre un cercle dans le plan 

 perpendiculaire au pian donné; le lieu de tous les cercles qu'on obtient 

 ainsi, en faisant varier la direction de la droite AP, sera une surface avant 

 pour équation 



p + p. + V = o. 



Les cercles dont il s'agit constituent un système de lignes de courbure de la 

 surface; le plan donné est le plan des xj dans le système elliptique, le 

 point A est l'origine des coordonnées x etj; la droite 00' est l'axe des x, 

 la constante elliptique c est le rayon des cercles égaux, tandis que l'autre 

 constante b est la moitié de la distance OO' des centres. 



« Il est évident que la trace de la surface sur le plan jcj- sera composée 

 des deux cercles donnés. Sa trace sur le plan xz sera composée également 

 de deux cercles égaux, de rayon b, qui ne se coupent pas, et dont la 

 distance des centres est égale à ac. Menons maintenant dans le plan.Tz, par 

 le point A, une droite quelconque qui rencontre ces deux cercles respective- 

 ment aux points P, Q, situés de part et d'autre de l'axe des x, et à des 

 distances inégales de l'origine A. Décrivons avec PQ comme diamètre un 

 cercle dans le plan perpendiculaire k xz; le lieu de tous ces cercles (qui 

 forment l'autre série des lignes de courbure) sera précisément la même sur- 

 face qu'on vient d'obtenir par la première construction. 



)' Pour démontrer les propriétés qui viennent d'être énoncées, il suffit 

 de chercher l'équation de la surface que fournit l'un ou l'autre de ces 



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