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 deux modes de construction. L'équation ainsi trouvée sera 



(i) {.r^+y^ ^z'^b' + c'Y=^{¥TV'x'- + c'y- + b'z' + b-c^), 



laquelle, transformée dans les coordonnées elliptiques, deviendra 



p + f. -H- V = O, 



comme je l'ai fait voir dans une Note communiquée récemment à l'Aca- 

 démie. 



» J'ai démontré aussi que les lignes de l'une descourbures de cette sur- 

 face sont situées sur les sphères dont l'équation est 



^.+ ^-.+ ,^+£ii±^4-c^-i^ = o, 



|3 étant un paramètre variable. Combinant cette équation avec l'équation (i), 

 on en tirera que les lignes de courbure dont il s'agit sont des cercles dont 

 les plans sont perpendiculaires au plan xj et ont pour traces les droites 

 représentées par l'équation 



2 Vi^CJT = (l — ^)\JC'^ — b^ J. 



Qu'on se rappelle maintenant le théorème célèbre (sur les lignes de cour- 

 bure i)laiies) de Joachimsthal, dont tous les géomètres déplorent si vive- 

 ment la perte récente, et on sera conduit à la détermination des diamètres 

 indiquée ci-dessus. Par des considérations tout à fait semblables, on peut 

 démontrer la construction énoncée pour l'autre système de lignes do 

 couibure. 



» Il est aisé de vérifier la propriété qui se rapporte aux centres de cour- 

 bure. Considérons le système dont les plans sont perpendiculaires à xj- et 

 supposons, pour fixer les idées, que les points P, Q appartiennent respecti- 

 vement aux cercles ayant O, O' pour centres, et que Q soit plus éloigné 

 de A que P. Menons les deux rayons OP, O'Q, et prolongeons OP jusqu'à 

 ce qu'il rencontre O'Q au point M. En vertu du théorème de Joachimsthal, 

 toutes les normales le long de la ligne de courbure ayant PQ pour trace 

 forment une cône de révolution dont M est le sommet; par conséquent, le 

 lieu de ce point est le lieu des centres de courbure du système dont les plans 

 sont iM-rpendiculaires à jcj^. Mais il est évident que PM = QM, d'où il ré- 

 sulte que 



0M-i-0'M = 20P = 2c, 



