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 l'équation de la surface. Posons, à l'ordinaire, — = ^, — = ç. La projec- 

 tion horizontale de l'élément m/n' aura pour' équation p — ^=i,.r'et^' 



désignant des coordonnées courantes, et x, j les coordonnées du point m. 

 I.e plan tangent en m aura d'autre part pour équation 



Z'- Z = p{.T' - x) + q[j' -7), 



z' étant l'ordonnée courante de ce plan et z l'ordonnée du point de con- 

 tact m. Celte équation doit être satisfaite lorsqu'on passe du point m au 

 point m' , ou, ce qui revient au même, que ion fait ^arier iufîninient peu 



X, j, z, sous la condition -— =: —Or, en différentiant l'équation ci-dessus, 



on obtient d'abord 



[x -x)dp^{f - jr)d(j = o, ou zF7= '''' 



dq 



Il faut donc que l'on ait 



1 — —'llL 



P df 



ou prlp + qdq = o , 



c'est-à-dire /j^ + (y^ constant; d'où l'on conclut facilement que la courbe 

 est une hélice, comme nous l'avons annoncé. En développant les différen- 

 tielles <Yp, dq, et posant, à l'ordinaire, 



— — r ^=^ = s ^= t 



d.T ' d.r (ly ' dy ' 



il vient, pour équation des lignes de faîte et de thalweg de cette seconde 

 espèce, 



p^r -h q^t -h ipqs = o. 



» La surface que j'ai prise pour exemple dans la Note rappelée ci-dessus, 

 offre précisément ilcux lignes de cette espèce, qui sont celles-là même que 

 j'avais alors>emarquées. 



» Ces deux espèces de lignes de faîte et de thalweg ne sont pas les seules 

 qu'une surface puisse nous offrir. Prenons deux points /t, n' très-voisins 

 sur une section horizontale, et par ces points menons des plans tangents à 

 la surface. Si l'intersection de ces deux plans est perpendiculaire à rélémenl 

 nn\ la ligue considérée est une ligne de faite ou de thalweg de la picmiere 

 espèce. Mais si cette intersection est horizontale, on aura une ligue de faite 



