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 lion des courbes à double courbure sur l'byperboloïde et sur les surfaces 

 réglées du troisième et du quatrième ordre. 



» Premieu TI]É0RÈME. — Si l'on a un faisceau de surfaces d'ordre m, et 

 sur un hyperbnloiile des ijroupcs de n géncralrices en involution, lesquels groupes 

 correspondent anii/irmoniguernent aux surfaces : le lieu des points d'intersec- 

 tion des surfaces par les groupes de génératrices qui leur correspondent est une 

 courbe à double courbure d'ordre zm -+- n. 



» Cette courbe a a/n" points sur la courbe d'ordre nr qui forme la base 

 du faisceau de surfaces. Ce sont les in^ points dans lescjiiels l'iiyperljoloïde 

 rencontre celte base. La courbe a en outre nui points sur chaque surface; 

 en tout donc 2ni- -+- nm ou m {■2ni -h /*) points sur chaque surface. Elle a /n 

 points sur chaque génératrice de l'hyperboloïde, et par conséquent (m -+- n) 

 points sur chaque directrice. Ces deux nombres entiers m et n, qui peuvent 

 prendre toutes les valeurs depuis l'unité, permettent, comme on le voit, de 

 décrire sur l'hyperboloïde des courbes géométriques de tous les ordres, d'une 

 manière uniforme fort simple. 



» Ces courbes sont susceptibles d'une théorie analytique qui se prête à 

 l'étude de leurs nombreuses propriétés. Cette théorie sera le sujet d'une 

 autre communication. 



» Deuxième THÉOtiÈME. — Si l'on a un faisceau de surfaces d ordre m, et 

 sur une surface réglée du troisième ordre des groupes de n génératrices en invo~ 

 lution, correspondant anharnioniqnenient aux surfaces du faisceau : le lieu des 

 points d' interjection de chaque surface par les n génératrices qui lui corres- 

 pondent est une courbe d'ordre (3m 4- n). 



M Cette courbe a 3m^ points sur la courbe d'ordre /«', base du faisceau 

 de surfaces, et inn ponits sur chaque surface; en tout ni (3»z + n) points 

 sur chaque surface, et m points sur chaque génératrice de la surface du 

 troisième ordre. 



» TuoiSlliME THÉORÈME. — Si l on a un Jaisceau de surfaces d'urdie m, et sur 

 une surface réglée du quatrième ordre des groupes de n génératrices en involulion, 

 correspondant anlwrnionl(pienienl aux surfaces du faisceau: le lien des jioints 

 d'intersection de chaque surface par les n génératrices qui lui correspondent est 

 une courbe d'ordre ( /j m -J- n). 



» Cette courbe a 4'"^ points sur la courbe d'ordre nr, base du faisceau 

 de surfaces, et nin autres points sur chaque surface, en loutm(4"' + ") 

 points sur chaque sinface, et m points sur chaque génératrice de la surface 

 (lu (pialrième ordre. 



