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» Un même procédé de démonstr.ition convienl à ces trois théorèmes : 

 appliquons-le au cas de la surface du quatrième ordre. 



w II sulfit de prouver qu'un plan transversal quelconque rencontrera la 

 courbe décrite eu (4'« + «) points. Ce plan coupe la surface réglée suivant 

 une courbe du quatrième ordre à trois points doubles, et le faisceau de 

 surfaces d'ordre m suivant un faisceau de courbes du même ordre qui cor- 

 respondent aidiarmoniquement aux groupes de n génératrices de la surface 

 réglée, et conséquemment aux groupes de n coniques qui, comn)e nous 

 l'avons dit ci-dessus, déterminent les groupes de génératrices. Or chaque 

 courbe du faisceau rencontre les n coniques correspondantes en imn points 

 dont le lieu est une courbe d'ordre {m -f- in) (i). Cette courbe a quatre 

 points multiples d'ordre n situés aux quatre points qui forment la base du 

 faisceau de coniques. Elle rencontre la courbe du quatrième ordre en 

 f\[m + in) points, dont ']n coïncident avec ces quatre points de la base 

 du faisceau de coniques, savoir, aw en chaque point double de la courbe 

 du quatrième ordre, et n en son point simple, puisque la courbe décrite a 

 un point midtiple d'ordre n en chacun de ces quatre points. Les autres 

 points d'intersection des deux courbes, en nombre [l\m+ n), appartiennent 

 à la courbe à double courbure cherchée. Cette courbe a donc [[\m-\- n) 

 points dans un plan quelconque, et conséquemment est de l'ordre {[\m + «). 

 Ce qu'il fallait démontrer. 



» Observations I. — On pourra prendre pour les surfaces d'ordre m des 

 groupes de m plans en involiition autour d'une arête commune. Cela per- 

 mettra, en faisant coïncider certaines génératrices de la surface réglée avec 

 des plans correspondants, de déduire des trois théorèmes généraux divers 

 cas particuliers, comme nous l'avons fait pour la description des courbes 

 gauches du quatrième ordre (2). 



» II. — IXous n'avons appliqué ce mode général de description des 

 courbes gauches qu'aux trois surfaces réglées les plus simples; mais il peut 

 s'étendre à des surfaces réglées de tous les ordres. 



» Nous allons prouver, du moins, qu'on peut former des surfaces réglées 

 de tous les ordres sur lesquelles on décrira des courbes à double courbure 

 de l'ordre ( R /« + «), R étant l'ordre de la surface. 



" Théorème. — Si l'on a dans l'espace une courbe plane d'ordre R à point 

 multiple I d'ordre (R — i), et une droite D menée par un point O de la courbe, et 



(i) Comptes rendus, t. XXXVII, p. 273; séance du 16 avril i853. 

 (2) Comptes rendus, t. LUI, p. -^67; séance du 4 novembre 1861. 



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