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 sur ces deux lighes deux séries de points qui se correspondent anharmonique- 

 ment de manière qu'au point O de la courbe corresponde, sur la droite D, ce 

 même point : les droites qui joindront les points correspondants formeront une 

 surface réqlée il'ordre K. 



» Prouvons qu'iitif droite quelconque K rencontrera R génératrices de 

 la surface, et conséquemment la surface elle-même en R points. 



» Les plans menés par la droite L et par les points u' de la droite D 

 correspondent anliarmoniquement à ces points, et conséquemment aux 

 points a de la courbe, c'est-à-dire aux rayons menés du point multiple de 

 la courbe à ses points a. Les traces de ces plans sur le plan de la courbe 

 rencontrent donc ces rayons en des points dont le lieu est une conique 

 qui passe par le point L Cette conique rencontre la courbe en aK points 

 dont (R— i) coïncident en I, et un se trouve en O, parce que ce point 

 considéré comme appartenant à la droite D est lui-même son correspon- 

 dant sur la courbe. Les R autres points d'intersection de la courbe par la 

 conique déterminent R génératrices comprises dans les plans menés par la 

 droite D, et qui par conséquent rencontrent cette droite. Ce qui démontre 

 le théorème. Donc, etc. 



» Corollaire. — Si la droite D passe par le point multiple I, on con- 

 sidérera que les R points de la courbe qui coïncident en I appartiennent 

 respectivement aux R branches de la courbe, et que les R points qui leur 

 correspondent sur la droite D, correspondent en réalité aux droites du 

 faisceau des rayons Oa, qui coïncident avec les tangentes aux R branches 

 de la courbe. Et pour que la surface lieu des génératrices aa.' soit d'ordre 

 R, il faudra prescrire que le point de la droite D correspondant à une de ces 

 R tangentes coïncide en L 



» Alors (R— i) génératrices de la surface coïncideront avec la droite D, 

 et cette droite sera, sur la surface d'ordre R, lute droite mullijde d'ordre (R — i). 

 Tout plan transversal coupera la surface suivant une courbe d'ordre R 

 ayant un point multiple d'ordre (R— i) sur cette droite (i). 



(i) Cette remarque fait voir qu'il y a à distinguer deux cas différents dans les surfaces ré- 

 glées du troisième ordre; disons deux espèces. Dans les unes, il existe une droite double 

 et une droite simple, sut lesquelles s'a])|nii('iU toutes les génératrices de la surface. Dans les 

 autres, il n'existe que la droite double, formée de la droite simple avec laqiu^lle coïncide 

 une génératrice. Les siirfa'/es réglées du quatrième ordre présentent beaucoup ])lus de 

 variété, elles admettent riualoize espèces. Je c()m|)le communiquer ])rocliaiiiement à TAca- 

 démie une théorie assez étendue de ces surfaces du troisième et du (]uatrième ordre. 



