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GÉOMÉTRIE. — Théorie analytique des courbes à double courbure de tous les 

 ordres tracées sur i hyperbolo'ide à une nappe; par M. Ciiasles. 



« 1. On a considéré généralement les courbes à double courbure, ou 

 courbes gauches, comme l'intersection de deux surfaces, et on les repré- 

 sente, en analyse, à la manière de Descartes, par deux équations entre les 

 trois coordonnées x, j, z. 



» Mais il faut croire que cette méthode de géométrie analytique, si pro- 

 pre à l'étude des courbes planes, n'offre pas les mêmes avantages dans la 

 théorie des courbes gauches, car on ne peut disconvenir que cette partie si 

 importante de la géométrie a fait jusqu'ici peu de progrés. 



» C'est qu'en effet, si l'emploi de trois coordonnées correspond, dans 

 la théorie des surfaces courbes, au système des deux coordonnées sur le 

 plan, il n'en est pas de même à l'égard des courbes à double courbure. 

 Ce procédé a pu se présenter dans l'étude de ces courbes comme une con- 

 séquence de ses usages dans la théorie des surfaces ; mais il ne conespoud 

 pas, en réalité, au système des deux coordonnées des courbes planes. La 

 différence qui existe, au fond, entre les deux procédés est peut-être la cause 

 première de l'immense différence des résultats obtenus dans les deux cas. 

 » Il faut donc, sans renoncer, bien entendu, au système général des 

 trois coordonnées, chercher quelques autres considérations qui comportent 

 uue analogie plus prononcée entre les deux théories des courbes planes et 

 des courbes à double courbure. 



» Or une observation a pu être souvent faite en géométrie, savoir que les 

 méthodes les plus simples dans les questions de l'espace sont celles qui 

 s'appliquent d'elles-mêmes aux cas de la géométrie plane; la géométrie de 

 la sphère en offre un exemple : on est donc induit à penser que la manière 

 d'étudier les courbes à double courbure devrait être telle, qu'elle devhit, 

 comme cas particidier, celle en usage pour les courbes planes. 



» Il semble qu'on pourra satisfaire à cette condition si, au lieu de consi- 

 dérer les courbes gauches dans l'espace indéfini, on les étudie par familles, 

 sur telle ou telle surface déterminée: la surface plane ne sera |ilus qu'un 

 cas particulier de la question, et les procédés employés sur les surfaces 

 courbes deviendront ceux que les géomètres pratiquent sur le plan. 



j> Ces courbes, ainsi groupées par familles, auront leurs propriétés spé- 

 cifiques, propres à la surface sur laquelle elles seront formées ; mais on con- 

 çoit qu'elles aurojrt aussi certaines propriétés géuéri^les, c'est-à-dire com- 



