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 mîmes à toutes : on distinguera ces propriétés, et elles constitueront la 

 théorie générale que l'on aurait eue en vue en appliquant le système des 

 trois coordonnées. 



» Pour étudier les courbes gauches par familles sur des surfaces diffé- 

 rentes, on aura à rechercher pour chaque surface divers procédés de géné- 

 ration des courbes, regardées comme lieux géométriques, et les systèmes de 

 coordonnées curvilignes propres à leur représentation analytique. Il nous 

 suffira de rappeler ici les beaux résultats qu'a procurés la savante théorie 

 des coordonnées elliptiques à trois variables, introduite par M. Lamé dans 

 les questions de l'espace, et appliquée par MM. Jacobi, Liouville, et d'autres 

 géomètres depuis, à l'étude des lignes géodésiques sur la surface de l'ellip- 

 soïde. Toute celte géométrie de l'ellipsoïde se retrouve sur le plan avec 

 des coniques homofocales pour coordonnées et réalise l'analogie dont nous 

 avons parlé. 



» Les surfaces réglées paraissent divoir offrir de grandes facilités, rela- 

 tives du moins, dans l'étude des courbes à double courbure, à raison de 

 leurs génératrices rectilignes, qui deviendront lui élément aussi simple 

 qu on puisse le désirer, soit pour la description des courbes par points, 

 soit dans le système des coordonnées dont on fera usage. 



" Nous avons déjà vu en effet comment on peut décrire d'une manière 

 uniforme des courbes de tous les ordres sur des surfaces réglées également 

 de tous les ordres, au moyen des génératrices de ces surfaces (i). 



» Mais l'hyperboloïde se distingue entre toutes les surfaces réglées par 

 une propriété qui lui appartient exclusivement : c'est d'avoir un double 

 système de génératrices rectilignes. Cette propriété est extrêmement pré- 

 cieuse pour le but que nous avons en vue. En effet, les coordonnées, cur- 

 vilignes, en général, sur une surface quelconque, ou 'semi-rectilignes et 

 curvilignes sur une surface réglée, seront ici simplement rectilignes; et, 

 comme nous allons le voir, ce système de coordonnées a une analogie 

 singulière avec le système en usage sur le plan. 



Système de coordonnivs sur l'hyperboloïde. 



n 2. Désignons par OX et OY les deux génératrices d'un hyperboloïde 

 qui passent parle point O de celte surface, et que nous appellerons axes des 

 coordonnées. Les génératrices du même système que OX conserveront ce 

 nom de génératrices, et nous appellerons directrices celles de l'autre système. 



(i) Comptes rendus, t. LUT, p. 884; sranre du i8 novembre i86i. 



