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» Par un point quelconque m de l'hyperboloïde passent une directrice 

 el une génératrice qui rencontrent respectivement les deux axes OX, OY en 

 deux points/?, q. Les segments Op, Oq, qui déterminent le point m, seront 

 les coordonnées de ce point : nous les désignerons par jc et j. 



» Une relation entre ces deux coordonnées représentera une courbe, 

 comme sur le plan ; la courbe la plus simple sera une courbe plane, consé- 

 quemment une conique ; et les usages que l'on fera de cette courbe cor- 

 respondront à ceux de la ligne droite sur le plan. Il faut donc chercliei- 

 d'abord l'équation de cette courbe plane, équation qui deviendra le fon- 

 dement de tout ce système de géométrie analytique. 



» 5. Equation des sections planes de l'hyperboloïde. — Cette équation est 

 de la forme 



a.rjr -h Sx + j y -f- (?= o. 



En effet, les points /w, m', . . . d'une conique tracée sur l'hyperboloïde sont 

 déterminés par les rayons Vni, P///, . . . , menés d'un point fixe quelconque 

 de la conique; et ces rayons correspondent anharmoniquement aux points 

 p, p\ .. ., que les directrices mp, mp', . . . déterminent sur l'axe OX, parce 

 qu'à xm rayon ne correspond qu'un point, et à un point ne correspond qu'un 

 rayon (i). Pareillement, les points q, q\ que les génératrices 7/27, m' q' , ... 

 déterminent sur l'axe OY, correspondent anharmoniquement aux mêmes 



rayons Pm, Vm', Il s'ensuit que les points p, /?',... et 9, 9', ... foiineut 



deux divisions homographiques ; divisions qu'on exprime de bien des ma- 

 nières, et entre autres par l'équation 



axj -h êx -i- 7/ -I- (J* = o (2) ; 



ce qui démontre le théorème. 



» Réciproquement : Véquation axy -f- ê j + 7J -f- (? = o représente une 

 section plane de l'hyperboloïde. 



» Cette réciproque est une conséquence du théorème ; car trois systèmes 

 de valeurs de jc et j satisfaisant à l'équation déterminent trois points de 

 la courbe représentée par cette équation ; ces trois points déterminent une 

 section plane, et l'équation de cette courbe sera de la forme 



a'xj + S'j -I- y'j -4- (?' = o. 



(i) Principe rie Correspondance, etc.,V. Comptes rendus, t. XLI , p. 1097 ; séance du 

 24 décembre i855. 



( 2) Traité de Géométrie supérieure, p. gS- 



