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" Or cette équation et la proposée ne renferment que trois coefticients 

 ujclépendanls, et elles sont satisfaites par trois mêmes systèmes de valeurs de 

 X et j. Elles sont donc identiques. Donc l'équation proposée est celle 

 d'une section plane. 



» Du reste il suffit de remarquer qu'à une valeur quelconque de x dans 

 l'équation ne correspond qu'une valeur de j-, et réciproquement; d'où il 

 résulte que chaque génératrice ou directrice ne rencontre la courbe repré- 

 sentée par l'équation qu'en un seul point; ce qui prouve que cette 

 courbe est plane. 



» 4. Cas particuliers de l'équation. — Quand â = o, la courbe passe par 

 le point O, origine des coordonnées. 



» Quand y = o, la courbe est dans un plan parallèle à l'axe OY. C'est 

 une hyperbole dont une asymptote est parallèle à cet axe; car l'équation 

 est alors 



a xj + S j: 4- c? = o ; 



et on y satisfait en faisant .r = o et y infini. 



» De même, si ê= o, la coiu'be sera dans un plan parallèle à l'axe OX. 

 Par conséquent l'équation 



OLxy H- ô* ^ o , ou xj = V , 



représente les courbes situées dans des plans parallèles aux deux axes OX, 

 OY. Ces courbes sont des hyperboles dont les asymptotes sont parallèles 

 à ces axes. 



» o. Des points situés à l'infini sur Ihyperboloide. — Il existe une certaine 

 valeur de la constante V pour laquelle la courbe représentée par l'équation 

 est tout entière à l'infini. En effet, à une directrice quelcoiiqne, qui ren- 

 contre l'axe OX en p, correspond une génératrice parallèle, qui rencontre 

 l'axe OY en un certain point q. Qu'on prenne v=^Op.Oq; la courbe 

 plane représentée par l'équation 



XJ = V 



aura un point situé à l'infini, savoir, le point dont les deux coordoiuiées 

 sont X = Op, j = 0(j. Et puisque cette courbe a déjà deux points à l'infini 

 sur les axes OX, OY (4), il s'ensuit que son plan est entièrement à l'infini. 

 » On conclut de là cette propriété de l'hyperboloide : 

 n Chaque système de deux génératrices parallèles détermine sur deux géné- 

 ratrices fixes OX, OY, deux segments Op, Oq, dont le produit est constant. 



