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Equation des courbes tracées sur l' liypcrboloïde. 



» 8. Tonte équation entre les deux coordonnées ji-, y représente une 

 courbe gauche sur l'hyperboloïde. 



o L'ordre de cette courbe est égal à la somme des plus hautes puissances des 

 deux variables x, y dans l'équation, soit que ces plus hautes puissances se trouvent, 

 ou non, dans un même ternie. 



» Soient p et </ les plus hautes puissances de jc et de j, de sorte que 

 l'équation générale de la courbe soit 



jc''{ax'' + hyi-' +...)+ JcP-' {n'y + ///'-' -h ...)-)-... = o; 



je dis que l'ordre de la courbe est [p -+- q), quels que soient les termes qui 

 manqueront dans l'équation. 



» En effet, à une valeur t]e x correspondent q valeurs de^; c'est-à-dire 

 ([ue chaque directrice déterminée par une valeur de x, rencontre la courbe 

 en q points. Pareillement chaque génératrice la rencontre en p points. Or 

 ces deux droites sont dans un même plan, lequel coupe donc la courbe en 

 {p + q) points. Conséquemment la courbe est d'ordre [p ■+■ q)- 



» On peut encore remarquer, d'une manière plus générale, que si 1 on 

 cherche les points d'intersection de la courbe par un plan quelconque, oh 

 en trouve {p + q), qui résultent de l'élimination d'une des deux variables 

 entre l'équation proposée et l'équation du plan, qui est 



axj- -+- 6.r + y_j + <? = o. 



» /avertissement. — Il nous arrivera souvent de dire, connue dans ce 

 moment-ci, que l'équation d'une courbe plane est l'équation ,'/// ])lan de 

 cette courbe. 



Courbes (Pun même ordre et d'espèces différentes. 



» 9. Nous représenterons une courbe d'ordre ip + q) par le symbole 

 y\.[x'' y), qui indique que la courbe rencontre les génératrices en 

 p points et les directrices en q points, et qu'elle est, conséquemment, de 

 l'ordre [p + q). 



» On voit qu'à raison de ces deux indices^ et q dont la somme seule déter- 

 mine l'ordre de la courbe, les courbes d'iui même ordre peuvent former 

 des cs/^cVes différentes, selon la manière dont \e?, {p -\- q) points situés dans 

 le plan d'une génératrice et d'une direciricp seront répartis sur ces deux 

 droites. 



