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» C'est ainsi que les courbes du quatrième ordre sont de deux espèces, 

 représentées par M{.x-j-) et M(.r'j-). 



» Celles du cinquième ordre sont aussi de deux espèces M(j?'}^) et 

 M[3C*j-]. Mais les courbes du sixième ordre sont de trois espèces jVI(.r'^'), 



i> L'équation générale des courbes d'ordre m est donc 



xP [aji -+■ bji-' 4- . . .) + xP-* [a'j'J -+■ b' j''-' -f-. , 



. . . =: O. 



Cette équation est complète et son degré est [p -h q), de même que l'ordre de 

 la courbe. Mais il est essentiel de remarquer que si quelques termes man- 

 quent dans l'équation, par exemple le premier, axPj'', l'équation ne sera 

 plus du degré [p + q), et seulement du degré {p -+- q — i)' quoiqu'elle repré- 

 sente toujours une courbe d'ordre (p + q). De sorte qu'il ne faut pas con- 

 fondre l'ordre dune courbe avec le degré de l'équation de la courbe. 



» 10. Cependant le degré de l'équation est un élément essentiel dans 

 cette théorie analytique des courbes gauches ; car il marque une certaine 

 condition de construction par rapport au point Q, de l'hyperboloide. Ce que 

 nous exprimerons par cet énoncé : 



» Quand le decjré d'une courbe est inférieur d une unité à [ordre de la courbe, 

 celle-ci passe par le point Q. ■ quand le decjré est inférieur de deux unités à l'ordre, 

 la courbe a un point double en Q ; et en général^ quand le degré de l'équatioti 

 est inférieur de r unités à l'ordre de la courbe, celle-ci a un point multiple d'ordre r 

 au point Q. 



» En effet, quand l'équation de la courbe M(x''j') d'ordre [p -+- q) est 

 du de^ré [p -h q — i), il est évident qu'un plan quelconque mené par fi, 

 et représenté par l'équation 



Sa? + 7j + <^= o 



ne rencontre la courbe qu'en [p -\- q — i) points au lieu de {p + q). Et 

 puisque cela a lieu pour tout plan mené par le point Û, il faut en conclure 

 que ce point appartient à la courbe. 



» Et de même, quand le degré de la courbe est [p -\- q — -x), tout 

 plan mené par û ne la rencontre qu'en {p -\- q — 2) points, ce qui prouve 

 que la courbe a un point double en û. 



M Soit, par exemple, la courbe gauche du quatrième ordre de première 

 espèce, ^l[x^j'^) -. son équation est en généra! du quatrième degré, 

 telle que 



x''{aj^-\-by-\rc)-\- x{a'r''+ b' r-{-c') + «";■ = -)- b" y + c" = o. 



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