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 le plan les points de l'hyperbole 



xj = y, 



y avant une valeur déterminée. Cela est évident d'après ce qui préce.le o . 



» Mais la correspondance entre les points à l'infini sur le plan et les points 

 de l'hyperboloïde, n'est pas aussi simple, et demande quelque attention. 



.> 15. Des points qui siii' t'hjperboloide correspondenl aux points à Cinfini sur 

 le plan. — Les points situés à l'infini sur le plan sont sur une; même droite, 

 conséqnemment les points qui leur correspondent sur l'hyperboloïde appar- 

 tiennent à une section plane. Pour déterminer cette section, il faut distni- 

 guer essentiellement les directions dans lesquelles se trouvent les différents 

 points de la droite à l'infini , par rapport aux axes coordonnés. Les points 

 situéssur des parallèles à l'axe ox, ont pour coordonnées a: = rtet j = ce . 

 Ceux qui leur correspondent sur l'hyperboloïde ont donc pour abscisses 

 jc = a, et sont situés sur la génératrice parallèle à l'axe OY, que nous appel- 

 lerons QX. Mais aux points situés à l'infini sur des parallèles à l'axe des x, 

 qui ont pour coordonnées j= h, 3c^=x> , correspondent des points situés 

 sur la directrice Û3 parallèle à l'axe OX. Quant aux autres points à l'infini, 

 dans des directions quelconques déterminées par des droites j- = ua:, leurs 

 coordonnées sont infinies, mais ayant un rapport déterminé. Il leur corres- 

 pond donc à tous le même point Q dont les coordonnées sont aussi infi- 

 nies. Pour distinguer tous ces points coïncidents avec un seul, nous les con- 

 sidérerons comme infiniment voisins de ce point û, sur les sections planes 

 qui passent par le point ii et l'origine O des coordonnées, et qui ont par 

 conséquent pour équation x = (/.y . Ces points forment, avec tous ceux des 

 deux droites fiT, ÛH, la section plane de l'hyperboloïde correspondante à 

 la droite située à l'infini dans la figure sur le plan. 



" 1 i. D'après cela, on voit sans difficulté qu'à une série de droites j>aral- 

 lèles sur le plan, correspondent sur l'hyperboloïde des sections faites par 

 des plans passant tous par une même tangente à l'hyperboloïde, en sou 

 point û. 



» On voit encore que cpiand une courbe gauche passe par le point D, la 

 courbe ])lane qui lui correspond a un point situé à l'infini, outre ses points 

 multiples situés à l'infini sur les axes coordonnés; et que quand celle-ci a 

 r points à l'infini, la courbe gauche a en û un point multiple d'ordre /■. Ou 

 peut dire que les tangentes aux r branches de la courbe en ce point corres- 

 pondent aux directions des r asymptotes de la courbe plane. 



» Ainsi, par exemple, quand la courbe gauche du quatrième ordre 



