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 M{x^j-'j a 111) point double on fi, les tangenles à ses deux branches en ce 

 point correspondent aux directions des asymptotes de la conique correspon- 

 dante à la courbe ( 10). Et si la conique est une parabole, le point double de 

 la courbe gauche du quatrième ordre est un point de rebroussement ; ses 

 deux branches ont la même tangente. 



» if>. A une courbe M {x''j''), d'ordre [p ■+■ q)^ sm- l'hyperboloïde cor- 

 respond sur le plan une courbe dans l'équation de laquelle les plus hautes 

 puissances de x et y seront p et /j ; et qui, dapres cette condition unique, 

 sera d'un ordre variable entre {p + r/) et p (nous supposons p> q). Cette 

 courbe a en général deux points multiples à l'infini sur les axes ox, oy. Le 

 degré de multiplicité de ces deux points et l'ordre de la courbe varient 

 selon que le point li de l'hyperboloïde est au dehors de la courbe gauche 

 ou sur celte courbe, en un point simple ou en un point multiple. 



» .Si la courbe gauche M(j:''/') ne passe pas par le point ii, la courbe 

 plane est toujours d'ordre [p + q), et ses deux points multiples sont d'or- 

 dre q sur l'axe ojt', et d'ordre p sur l'axe oj-. Elle n'a aucun autre point 

 à l'infini et conséqueminent aucune asymptote autre que les {p-\- q) dont 

 p sont parallèles à l'axe ox, et q sont parallèles à l'axe oj-. 



» Mais quand la courbe gauche passe par le point Q, la courbe plane 

 n'est que de l'ordre {p -h q — i\ et l'ordre de chacun de ses deux points 

 multiples diminue d'une unité; par suite, la courbe a un autre point à liu- 

 fini et conséquemment une asymptote. 



» Si la courbe M{x'j'), toujours d'ordi-e {p H-ç), a un point double 

 en 12, la courbe plane perd deux unités de son ordre, son équation, qui 

 confient toujours les puissances x'', y'' n'étant plus, néanmoins, que du 

 degré {p ^ q — a); l'ordre de chacun de ses points multiples diminue 

 aussi de deux unités; et par suite, la courbe a deux points à l'infini, et 

 deux asymptotes. 



« En général, si la courbe gauche d'ordre (p -t- ry) a un point multiple 

 d'ordre r au point û, la courbe plane n'est plus que de l'ordre [p + q — r), 

 et ses deux points multiples situés à l'infini sont de l'ordre {q — r) et [p — r). 

 Elle a r autres |)oints à l'infini et /■ a.symptotes. 



» Si la courbe gauche a un point multiple ailleurs qu'en û, il correspond 

 à ce point svu' la courbe plane un point multiple du même ordre. 



» Aux tangentes à la courbe plane correspondent les plans tangents à la 

 courbe gauche menés par le point û; et aux tangentes d'inflexion corres- 

 pondent les plans osculateurs menés par ce point. 



X Tous les autres plans tangents ou osculateurs de la courbe gauche qui 



