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 ne passent |)as par le point ù, correspondent à des hyperboles tangentes on 

 osculatrices à la conrbe plane, et ayant toutes pour asymptotes les deux 

 axes ojc, oy. 



» Si une de ces hyperboles a un contact du troisième ordre avec la 

 courbe plane, il lui correspond un plan ayant un contact du troisième 

 ordre avec la conrbe gauche, disons un plan stationnaire, suivant l'expres- 

 sion employée par M. Cayley ( i ). 



» On conçoit que, d'après ces relations entre les courbes gauches et les 

 courbes planes, on pourra appliquer immédiatement aux |)remières les 

 propriétés connues des secondes, sans les démontrer directement. 



» 16. Toutes ces relations sont indépendantes de la position du pian 

 dans lequel on suppose décrites les courbes planes, et de la position de 

 courbes dans leur plan. 



» Mais on peut construire celles-ci dans une telle position, qu'elles aient 

 avec les courbes gauches une dépendance encore plus intime; car chaque 

 courbe gauche et la courbe plane qui lui correspond peuvent être placées sur un 

 même cône. 



» En d'autres termes : Les courbes planes sont les perspectives des courbes 

 qauches. 



n En effet, concevons un cône passant par la courbe gauche M (x'' j-*), 

 et ayant son sommet en un point S de l'hyperboloide. Ce cône, d'ordre 

 {p -h q), aura deux arêtes multiples, l'une d'ordre q et l'autre d'ordre p, 

 qui seront les deux droites de l'hyperboloide, génératrice et directrice, qui 

 se croisent en S. Conséquemment sa base sur un plan transversal quelconque 

 sera une courbe d'ordre {p -^ <j) ayant deux points multiples d'ordre q et p, 

 respectivement. 



» Si l'on prend le plan transversal parallèle au plan tangent à l'hy- 

 perboloide au sommet du cône, les deux points multiples passent à l'infini, 

 et l'on a une courbe d'ordre {p -+- q), telle que celle que nous avons supposée 

 correspondre, par une équation identique, à la courbe gauche. 



» De plus, on peut faire en sorte que le système de coordonnées auquel 

 il faut rapporter cette courbe, pour qu'elle ait la même équation que la 

 courbe gauche, soit aussi déterminé par la perspective, c'est-à-dire, pour 

 que les axes or, oj- sur le plan et les points qui déterminent sur ces axes les 

 abscisses et les ordonnées .r et j-, soient la perspective des axes OX, OY de 



(i) Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. X, p. 245, année i845. — The C.nni- 

 hriilge anri Dublin Mnthrniatiral Jnurnn! ^ vol. V, p. IC), ann, i85o. 



