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» Et si ce point de la courbe est multiple d'ordre r, le iionibre des plaus 

 osculateurs sera diminué de 3/-^ unités. 



1) 23. Surface développable osculatrice à la courbe M (x^y?). 



» Cette développable est le lieu des tangentes à la courbe. Conséqucm- 

 ment son ordre est égal au nombre des tangentes qui s'appuient sur une 

 droite. Or ces tangentes sont dans les plans tangents à la courbe menés par 

 la droite : il s'ensuit donc que l'ordre de la développable est 



2 [Xj — ici — iil' . 

 Eu observant que si la courbe a un point multiple d'ordre r, ce point comp- 

 tera pour '— points doubles (22). 



» Les plans tangents à la surface sont les plans osculateurs à la courbe 

 M ( xPj''); conséquemment la classe de la surface (c'est-à-dire le noiubre des 

 pians tangents qu'on peut lui mener par un point) est 



6p(] — 3 {p H- q) — Gd ~ 8d'. 



» La surface passe par les droites de l'hyperboloïde, génératrices et direc- 

 trices, tangentes à la courbe M, lesquelles sont au nondire de 



fiprj — 7. [p + q) — 1 {id + '5d'). 



s L'intersection de l'hyperboloïde par la développable se compose de 

 ces droites et de la courbe M, d'ordre [p -+- q), suivant laquelle deux sur- 

 faces sont circonscrites l'une à l'autre, et qui par conséquent compte poiu' 

 deux courbes d'ordre (/) -h q). 



» 20. Avertissement. — Les propriétés suivantes de la courbe gauche 

 M [x''j^) s'exprimeront par diverses formules qui dériveront toutes des 

 propriétés et des formules précédentes; en conséquence, pour simplifier ces 

 formules et l'énoiicé des théorèmes, nous y ferons abstraction des points 

 doubles et de rebroussement de la courbe M; c'esi-à-dire que tous nos 

 énoncés s'entendront d'une courbe générale, dépourvue de points nudtiples 

 d'ordre quelconque. Il sera toujours facile, d'après ce qui précède, de \()ir 

 ce que devientiraient ces énoncés si la courbe avait des points multiples. 



» Nous aurons à faire usage des formules de M. Plucker, concernant les 

 courbes planes, dont on considère l'ordre, la classe, les points doubles et 

 de rebroussement, et les tangentes doubles et d'inflexion. Ces fornudes sont, 

 comme on le sait, au nombre de six, dont trois sont une conséquence des 

 trois autres. Mais quatre nous suffiront, et nous allons les rappeler ici. Soient 



